Uma moeda é colocada a uma distância R do centro do prato de um toca-discos, onde o coeficiente de atrito estático é mue. Partindo do repouso, a velocidade angular do toca-discos vai aumentando com aceleração angular constante alpha. (a) Determine a aceleração alpha0 a partir da qual a moeda escorrega logo que o prato começa a se mover. (b) Supondo que alpha, determine o valor da velocidade angular omega0 para a qual a moeda começa a escorregar. Escreva os resultados em função das grandezas R, g, alpha e mue.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma moeda colocada a uma distância do centro de um toca-discos que está girando. O coeficiente de atrito estático entre a moeda e o prato é . A velocidade angular do toca-discos aumenta a uma aceleração angular constante . A questão tem duas partes:
(a) Determinar a aceleração angular a partir da qual a moeda escorrega assim que o prato começa a se mover.
(b) Supondo que , determinar a velocidade angular para a qual a moeda começa a escorregar.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força centrípeta, atrito estático e as relações entre aceleração angular, velocidade angular e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte (a). Queremos encontrar a aceleração angular Fc = m R alpha que faz com que a moeda comece a escorregar no momento em que o prato começa a girar.
Quando o prato começa a girar, a moeda tende a permanecer em repouso devido à inércia. A força que tenta manter a moeda fixa é a força de atrito estático. Se a força necessária para manter a moeda parada exceder o atrito est��tico máximo, a moeda vai escorregar.
A força centrípeta necessária para manter a moeda em movimento circular é dada por:
Fatrito,máx = mue m g
A força de atrito estático máximo é:
m R alpha <= mue m g á
Para que a moeda não escorregue, a força centrípeta deve ser menor ou igual à força de atrito estático:
R alpha <= mue g
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por R alpha0 = mue g :
alpha0 = mue gR
Para encontrar a aceleração angular crítica onde a moeda começa a escorregar, igualamos:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Supondo que Fc = m R omega^2 , queremos encontrar a velocidade angular m R omega0^2 = mue m g na qual a moeda começa a escorregar.
Mesmo com R omega0^2 = mue g , a velocidade angular está aumentando, então eventualmente a força centrípeta necessária pode exceder a força de atrito estático máxima.
Sabemos que a força centrípeta também pode ser expressa em termos da velocidade angular omega0 = raizmue gR :
A moeda começa a escorregar quando á:
Simplificando dividindo ambos os lados por :
Resolvendo para :

Resposta

(a) A aceleração angular crítica é .
(b) A velocidade angular na qual a moeda começa a escorregar é .

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