Uma moeda é colocada a uma distância R do centro do prato de um toca-discos, onde o coeficiente de atrito estático é
. Partindo do repouso, a velocidade angular do toca-discos vai aumentando com aceleração angular constante
. (a) Determine a aceleração
a partir da qual a moeda escorrega logo que
prato começa a se mover. (b) Supondo que
, determine o valor da velocidade angular
para a qual a moeda começa a escorregar. Escreva os resultados em função das grandezas R, g,
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma moeda colocada a uma distância
do centro de um toca-discos que está girando. O coeficiente de atrito estático entre a moeda e o prato é
. A velocidade angular do toca-discos aumenta a uma aceleração angular constante
. A questão tem duas partes:
(a) Determinar a aceleração angular
a partir da qual a moeda escorrega assim que o prato começa a se mover.
(b) Supondo que
, determinar a velocidade angular
para a qual a moeda começa a escorregar.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força centrípeta, atrito estático e as relações entre aceleração angular, velocidade angular e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte (a). Queremos encontrar a aceleração angular
que faz com que a moeda comece a escorregar no momento em que o prato começa a girar.
Quando o prato começa a girar, a moeda tende a permanecer em repouso devido à inércia. A força que tenta manter a moeda fixa é a força de atrito estático. Se a força necessária para manter a moeda parada exceder o atrito est��tico máximo, a moeda vai escorregar.
A força centrípeta necessária para manter a moeda em movimento circular é dada por:
A força de atrito estático máximo é:
Para que a moeda não escorregue, a força centrípeta deve ser menor ou igual à força de atrito estático:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Para encontrar a aceleração angular crítica
onde a moeda começa a escorregar, igualamos:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Supondo que
, queremos encontrar a velocidade angular
na qual a moeda começa a escorregar.
Mesmo com
, a velocidade angular está aumentando, então eventualmente a força centrípeta necessária pode exceder a força de atrito estático máxima.
Sabemos que a força centrípeta também pode ser expressa em termos da velocidade angular
:
A moeda começa a escorregar quando
:
Simplificando dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Resposta
(a) A aceleração angular crítica é
.
(b) A velocidade angular na qual a moeda começa a escorregar é
.