A aceleração de um atleta durante uma corrida varia de acordo com a função f(t) = 3t^2 - 2t + 1. Determine a velocidade do atleta a partir do instante t=2,s até o instante t=5,s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre a aceleração de um atleta durante uma corrida, que é dada pela função . Nosso objetivo é descobrir a velocidade do atleta do instante até . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a relação entre aceleração e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que podemos encontrar a velocidade integrando a função de aceleração. A fórmula geral que relaciona aceleração v(t) = v0 + integralt0^t a(tau) , dtau e velocidade é:
Onde:
  • é a velocidade no tempo ,
  • é a velocidade inicial no tempo ,
  • é a aceleração em um instante .

Passo 3

No nosso caso, não foi fornecida a velocidade inicial v(5) = v(2) + integral2^5 f(t) , dt no tempo v(5) = integral2^5 (3t^2 - 2t + 1) , dt . Para simplificar, vamos assumir que (ou seja, a velocidade no instante é zero). Assim, queremos encontrar a velocidade em :
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo:
integral (3t^2 - 2t + 1) , dt = integral 3t^2 , dt - integral 2t , dt + integral 1 , dt
Calculando cada termo:
integral 3t^2 , dt = 3 cdot t^33 = t^3
integral 2t , dt = 2 cdot t^22 = t^2
integral 1 , dt = t
Então, a integral completa fica:
v(t) = t^3 - t^2 + t + C
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida de a , a constante se cancela.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral de 2 a 5:
v(5) = [t^3 - t^2 + t]2^5 = (5^3 - 5^2 + 5) - (2^3 - 2^2 + 2)
Calculando os valores:
5^3 = 125, 5^2 = 25, 2^3 = 8, 2^2 = 4
Substituindo:
v(5) = (125 - 25 + 5) - (8 - 4 + 2) = (105) - (6) = 99

Resposta

A velocidade do atleta no instante é de 99 metros por segundo.

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