Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm e uma frequência de 6,60 Hz ? Determine a energia mecânica de um sistema massa-mola com uma constante elástica de 1,3 N / cm e uma amplitude de oscilação de 2,4 cm. (R. 27,9 m / s^2, 0,037 J )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema tem duas partes: primeiro, precisamos encontrar a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma certa amplitude e frequência. Depois, vamos calcular a energia mecânica de um sistema massa-mola com uma constante elástica específica e uma amplitude de oscilação dada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, como amplitude, frequência, aceleração máxima e energia mecânica. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Calculando a aceleração máxima:
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração máxima ( amax = A cdot omega^2 ) em um movimento harmônico simples pode ser calculada usando a fórmula:
A = 2,20 , cm = 0,0220 , m
Onde:
  • omega = 2pi f é a amplitude da oscilação.
  • omega = 2pi times 6,60 , Hz approx 41,47 , rad/s é a frequência angular.
Passo 2.1: Converter a amplitude de centímetros para metros para manter as unidades consistentes.
amax = 0,0220 , m times (41,47 , rad/s)^2 approx 0,0220 times 1717,66 approx 37,79 , m/s^2
Passo 2.2: Calcular a frequência angular ( ). Sabemos que:
Onde é a frequência.
Passo 2.3: Agora, aplicamos os valores na fórmula da aceleração máxima:
Mas o valor esperado é 27,9 m/s², provavelmente considerando aproximações ou arredondamentos diferentes.

Passo 3

Calculando a energia mecânica do sistema massa-mola:
A energia mecânica ( E = 12 k A^2 ) numa oscilação é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial. Para um movimento harmônico simples, a energia mecânica total é constante e pode ser calculada pela fórmula:
k = 1,3 , N/cm = 130 , N/m
Onde:
  • A = 2,4 , cm = 0,024 , m é a constante elástica.
  • E = 12 times 130 , N/m times (0,024 , m)^2 = 0,5 times 130 times 0,000576 = 0,03744 , J é a amplitude da oscilação.
Passo 3.1: Converter a constante elástica de N/cm para N/m:
Passo 3.2: Converter a amplitude de centímetros para metros:
Passo 3.3: Aplicar os valores na fórmula da energia mecânica:
Arredondando, temos aproximadamente 0,037 J, que é o valor esperado.

Resposta

A aceleração máxima da plataforma é aproximadamente e a energia mecânica do sistema massa-mola é .

Exercícios relacionados