(a) Qual é a aceleração radial de um objeto no Equador terrestre, considerando apenas o movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo? (b) Qual é a aceleração radial de um objeto em Porto Alegre (30,0 ^circ de latitude Sul)? Expresse suas respostas em função de g. (O raio da Terra é 6,37 times 10^6 m.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre aceleração radial causada pela rotação da Terra. A matéria envolvida é a cinemática rotacional, e para resolver vamos precisar entender como a rotação da Terra gera uma aceleração que aponta para o centro (radial). Além disso, vamos usar a relação entre aceleração centrípeta e a gravidade terrestre g.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração radial (ou centrípeta) para um objeto que está em movimento circular é dada pela fórmula:
ar = omega^2 r
onde:
  • ar é a aceleração radial,
  • omega é a velocidade angular,
  • r é o raio da trajetória circular.

Passo 3

Sabemos que a Terra gira uma vez a cada 24 horas. Para encontrar a velocidade angular omega, usamos a fórmula:
omega = 2piT
onde T é o período de rotação da Terra. Como T = 24 times 3600 segundos, temos:
omega = 2pi86400 approx 7,27 times 10^-5 , rad/s

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração radial no Equador. No Equador, o raio da trajetória circular é igual ao raio da Terra, que é r = 6,37 times 10^6 , m. Substituindo na fórmula da aceleração radial:
ar = omega^2 r = (7,27 times 10^-5)^2 times 6,37 times 10^6

Passo 5

Calculando os valores:
omega^2 = (7,27 times 10^-5)^2 approx 5,29 times 10^-9 , rad^2/s^2
ar = 5,29 times 10^-9 times 6,37 times 10^6 approx 3,37 times 10^-2 , m/s^2

Passo 6

Sabemos que a gravidade terrestre g é aproximadamente 9,81 , m/s^2. Então, para expressar ar em função de g:
ar approx 3,37 times 10^-29,81 , g approx 3,44 times 10^-3 , g

Passo 7

Para a parte (b), queremos encontrar a aceleração radial em Porto Alegre, que está a 30,0° de latitude Sul. A componente do raio efetivo que contribui para a aceleração radial é:
r' = r cos(theta)
onde theta = 30,0°. Então:
ar = omega^2 r' = omega^2 r cos(30°)

Passo 8

Calculando cos(30°):
cos(30°) = raiz32 approx 0,8660
Então:
ar = 5,29 times 10^-9 times 6,37 times 10^6 times 0,8660 approx 2,92 times 10^-2 , m/s^2

Passo 9

Expressando em função de g:
ar approx 2,92 times 10^-29,81 , g approx 2,98 times 10^-3 , g

Resposta

(a) A aceleração radial no Equador é aproximadamente 3,44 times 10^-3 , g.
(b) A aceleração radial em Porto Alegre (30,0° de latitude Sul) é aproximadamente 2,98 times 10^-3 , g.

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