Em um instante inicial em um procedimento de compressão, um cilindro contém 450 cm^3 de ar sob pressão atmosférica (1,01 times 10^5 Pa) e temperatura igual a 68^circ F. No final do tempo de compressão, o ar foi reduzido até um volume igual a 45 cm^3 e a pressão manométrica cresceu para 2,72 times 10^6 Pa. Calcule a temperatura final.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cilindro com ar que está sendo comprimido. No começo, o volume é de , a pressão atmosférica é e a temperatura é . Depois da compressão, o volume diminui para e a pressão aumenta para . Queremos descobrir qual é a temperatura final do ar após a compressão. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei dos Gases Ideais:
PV = nRT
Aqui:
  • P1 V1T1 = P2 V2T2 é a pressão,
  • T2 = P2 V2 T1P1 V1 é o volume,
  • é a quantidade de matéria (em mols),
  • é a constante dos gases ( ),
  • é a temperatura em Kelvin.
Como a quantidade de ar no cilindro não muda durante a compressão, podemos usar a Lei Combinada dos Gases:
Queremos encontrar , então vamos reorganizar a fórmula:

Passo 3

Antes de calcular, precisamos garantir que todas as unidades estão corretas. Vamos verificar:
  • Volume está em V1 = 450 , cm^3 = 450 times 10^-6 , m^3 = 4,5 times 10^-4 , m^3 , mas precisa estar em V2 = 45 , cm^3 = 45 times 10^-6 , m^3 = 4,5 times 10^-5 , m^3 . Sabemos que .
  • Temperatura está em Fahrenheit, precisamos converter para Kelvin.
Vamos converter os volumes:

Passo 4

Agora, vamos converter a temperatura de Fahrenheit para Kelvin. Primeiro, convertemos para Celsius:
T(^circ C) = 59 (T(^circ F) - 32)
T(^circ C) = 59 (68 - 32) = 59 times 36 = 20^circ C
Agora, convertemos para Kelvin:
T(K) = T(^circ C) + 273,15 = 20 + 273,15 = 293,15 , K
Então, .

Passo 5

Vamos substituir todos os valores na fórmula para encontrar T2 = P2 V2 T1P1 V1 :
T2 = 2,72 times 10^6 , Pa times 4,5 times 10^-5 , m^3 times 293,15 , K1,01 times 10^5 , Pa times 4,5 times 10^-4 , m^3
Sabendo que:
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar os cálculos passo a passo:
Primeiro, simplificamos os volumes:
4,5 times 10^-54,5 times 10^-4 = 10^-510^-4 = 0,1
Agora, multiplicamos as pressões e a temperatura:
2,72 times 10^6 times 0,1 times 293,15 = 2,72 times 10^6 times 29,315 = 7,975 times 10^7
Dividimos pela pressão inicial:
7,975 times 10^71,01 times 10^5 approx 788,118 , K

Resposta

A temperatura final do ar após a compressão é aproximadamente .

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