Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do R^3 :
b) u=(1,-1,0) e v=(2,-1,2).
Solução
b) |u|=raiz2,|v|=3 e lang<= u, vrang<==2+1+0=3. Logo cos theta=33 raiz2=raiz22 therefore theta=pi4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional. A matéria que estamos usando aqui é produto escalar e norma dos vetores. Para isso, vamos precisar calcular a norma de cada vetor e o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma (ou comprimento) do vetor u. A norma de um vetor |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 é dada pela fórmula:
|u| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
Aplicando essa fórmula ao vetor :

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor v. Usamos a mesma fórmula para a norma:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Para o vetor |v| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e v. O produto escalar é dado por:
lang<= u, v rang<= = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Aplicando aos vetores dados:
lang<= u, v rang<= = (1)(2) + (-1)(-1) + (0)(2) = 2 + 1 + 0 = 3

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
cos theta = lang<= u, v rang<=|u| cdot |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = 3raiz2 cdot 3 = 33raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta = cos^-1(raiz22) , vamos usar a função arco cosseno (cos⁻¹):
cos(pi4) = raiz22
Sabemos que:
theta = pi4
Portanto:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é radianos.

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