Nos Exercícios 10-13, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre
(a) uma base da imagem de T
(b) uma base do núcleo de T
© o posto e a nulidade de T
(d) o posto e a nulidade de A
13. A=[rrrrr1 & 4 & 5 & 0 & 9 3 & -2 & 1 & 0 & -1 -1 & 0 & -1 & 0 & -1 2 & 3 & 5 & 1 & 8]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar algumas coisas relacionadas à transformação linear que multiplica vetores por . Especificamente, vamos:
  • (a) Encontrar uma base para a imagem de .
  • (b) Encontrar uma base para o núcleo de .
  • © Determinar o posto e a nulidade de .
  • (d) Determinar o posto e a nulidade de .
Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear como espaço de imagem, núcleo, posto e nulidade, e vamos precisar fazer algumas operações com matrizes, como a redução por linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de A = 1 & 4 & 5 & 0 & 9 3 & -2 & 1 & 0 & -1 -1 & 0 & -1 & 0 & -1 2 & 3 & 5 & 1 & 8 . A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podemos obter ao multiplicar por algum vetor. Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar as colunas de que são vetores linearmente independentes.
Vamos olhar para a matriz :

Passo 3

Para encontrar as colunas que formam uma base para a imagem de 1 & 4 & 5 & 0 & 9 3 & -2 & 1 & 0 & -1 -1 & 0 & -1 & 0 & -1 2 & 3 & 5 & 1 & 8 , vamos colocar a matriz 1 & 4 & 5 & 0 & 9 0 & -14 & -14 & 0 & -28 0 & 4 & 4 & 0 & 8 0 & -5 & -5 & 1 & -10 na forma escalonada por linhas usando eliminação de Gauss. Isso vai ajudar a identificar quais colunas são pivot (independente).
Vamos começar:
Primeiro, vamos usar o primeiro elemento para zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • R2 = R2 - 3R1
  • R3 = R3 + R1
  • R4 = R4 - 2R1
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -14:
1 & 4 & 5 & 0 & 9 0 & 1 & 1 & 0 & 2 0 & 4 & 4 & 0 & 8 0 & -5 & -5 & 1 & -10
Em seguida, vamos usar o pivot 1 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 da segunda linha para zerar os elementos acima e abaixo na segunda coluna.
  • R1 = R1 - 4R2
  • R3 = R3 - 4R2
  • R4 = R4 + 5R2
A matriz fica:

Passo 5

Agora, observamos que as colunas com pivôs são a primeira, segunda e quarta. Isso significa que as colunas correspondentes na matriz original 1 3 -1 2 , 4 -2 0 3 , 0 0 0 1 são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de .
As colunas 1, 2 e 4 de são:

Passo 6

Para encontrar o núcleo de x1 + x3 = 0 x2 + x3 + 2x5 = 0 x4 = 0 , ou seja, todos os vetores x1 = -x3 x2 = -x3 - 2x5 x4 = 0 que satisfazem x = x3 -1 -1 1 0 0 + x5 0 -2 0 0 1 , precisamos resolver o sistema homogêneo associado à matriz .
Com a matriz reduzida que obtivemos:
Podemos expressar as variáveis livres em termos de e :
Então, o vetor solução pode ser escrito como:

Passo 7

As duas colunas que servem como geradoras para o núcleo são:
-1 -1 1 0 0 e 0 -2 0 0 1
Esses vetores formam uma base para o núcleo de .

Passo 8

Agora, vamos falar sobre posto e nulidade.
  • Posto ( ): é a dimensão da imagem de , ou seja, o número de vetores na base da imagem.
  • Nulidade ( ): é a dimensão do núcleo de , ou seja, o número de vetores na base do núcleo.
No nosso caso:
  • A base da imagem tem 3 vetores.
  • A base do núcleo tem 2 vetores.

Passo 9

Finalmente, para a matriz :
  • O posto de é igual ao posto de , que é 3.
  • A nulidade de é igual à nulidade de , que é 2.

Resposta

(a) Uma base da imagem de 1 3 -1 2 , 4 -2 0 3 , 0 0 0 1 é formada pelos vetores:
-1 -1 1 0 0 e 0 -2 0 0 1
(b) Uma base do núcleo de é dada por:
© O posto de é 3 e a nulidade de é 2.
(d) O posto de é 3 e a nulidade de é 2.

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