Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz que representa uma transformação linear que multiplica vetores. Nosso objetivo é encontrar:
a) Uma base para a imagem de
b) Uma base para o núcleo de
c) O posto e a nulidade de
d) O posto e a nulidade de
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagem, núcleo, posto e nulidade das transformações e matrizes. Vamos precisar fazer algumas operações com a matriz para descobrir essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em qualquer vetor do espaço de partida. No caso, como é a multiplicação por , a imagem de corresponde ao espaço gerado pelas colunas de .
Então, para encontrar uma base da imagem de , precisamos identificar quais colunas de são linearmente independentes.
Passo 3
Olhemos para a matriz :
Vamos verificar se as colunas são lineares entre si. Para isso, colocamos em forma escalonada por linhas usando o método de eliminação de Gauss.
Primeiro, queremos que o elemento seja nosso ponto de partida. Vamos zerar o elemento subtraindo da primeira linha multiplica pela segunda linha:
Agora, podemos ver que as duas colunas principais são linearmente independentes, então a base da imagem de será formada por essas colunas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de . O núcleo de é o conjunto de todos os vetores que satisfazem .
Para encontrar isso, precisamos resolver o sistema homogêneo:
Vamos resolver esse sistema usando a forma escalonada que já obtivemos:
Simplificando a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, as soluções gerais são:
Podemos expressar isso em termos de e :
Portanto, uma base para o núcleo de é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o posto e a nulidade de . O posto de é a dimensão da imagem de , que é o número de vetores na base da imagem. A nulidade de é a dimensão do núcleo de , que é o número de vetores na base do núcleo.
Da imagem, vimos que a base tem 2 vetores, então o posto de é 2. Do núcleo, temos 2 vetores na base, então a nulidade de também é 2.
Passo 6
Finalmente, vamos falar sobre o posto e a nulidade da matriz . Na verdade, o posto de é o mesmo que o posto de , que já vimos ser 2. E a nulidade de também coincide com a nulidade de , que é 2.