Nos Exercícios 10-13, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre
(a) uma base da imagem de T
(b) uma base do núcleo de T
© o posto e a nulidade de T
(d) o posto e a nulidade de A
12. A=[llll4 & 1 & 5 & 2 1 & 2 & 3 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz que representa uma transformação linear que multiplica vetores. Nosso objetivo é encontrar:
a) Uma base para a imagem de
b) Uma base para o núcleo de
c) O posto e a nulidade de
d) O posto e a nulidade de
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagem, núcleo, posto e nulidade das transformações e matrizes. Vamos precisar fazer algumas operações com a matriz para descobrir essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em qualquer vetor do espaço de partida. No caso, como é a multiplicação por , a imagem de corresponde ao espaço gerado pelas colunas de .
Então, para encontrar uma base da imagem de , precisamos identificar quais colunas de são linearmente independentes.

Passo 3

Olhemos para a matriz A = 4 & 1 & 5 & 2 1 & 2 & 3 & 0 :
4 & 1 & 5 & 2 0 & 74 & 74 & -12
Vamos verificar se as colunas são lineares entre si. Para isso, colocamos em forma escalonada por linhas usando o método de eliminação de Gauss.
Primeiro, queremos que o elemento seja nosso ponto de partida. Vamos zerar o elemento subtraindo da primeira linha multiplica pela segunda linha:
Agora, podemos ver que as duas colunas principais são linearmente independentes, então a base da imagem de será formada por essas colunas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de 4x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 = 0 . O núcleo de 4x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 0 74x2 + 74x3 - 12x4 = 0 é o conjunto de todos os vetores x2 + x3 - 27x4 = 0 implies x2 = -x3 + 27x4 que satisfazem 4x1 + (-x3 + 27x4) + 5x3 + 2x4 = 0 implies 4x1 + 4x3 + 167x4 = 0 implies x1 = -x3 cdot 44 - 1628x4 = -x3 - 47x4 .
Para encontrar isso, precisamos resolver o sistema homogêneo:
x1 = -x3 - 47x4 x2 = -x3 + 27x4 x3 = x3 x4 = x4
Vamos resolver esse sistema usando a forma escalonada que já obtivemos:
x = x3 -1 -1 1 0 + x4 -47 27 0 1
Simplificando a segunda equação:
-1 -1 1 0 , -47 27 0 1
Substituindo na primeira equação:
Então, as soluções gerais são:
Podemos expressar isso em termos de e :
Portanto, uma base para o núcleo de é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o posto e a nulidade de . O posto de é a dimensão da imagem de , que é o número de vetores na base da imagem. A nulidade de é a dimensão do núcleo de , que é o número de vetores na base do núcleo.
Da imagem, vimos que a base tem 2 vetores, então o posto de é 2. Do núcleo, temos 2 vetores na base, então a nulidade de também é 2.

Passo 6

Finalmente, vamos falar sobre o posto e a nulidade da matriz . Na verdade, o posto de é o mesmo que o posto de , que já vimos ser 2. E a nulidade de também coincide com a nulidade de , que é 2.

Resposta

(a) Uma base da imagem de 4 1 , 1 2 é:
-1 -1 1 0 , -47 27 0 1
(b) Uma base do núcleo de é:
© O posto de é 2 e a nulidade de é 2.
(d) O posto de é 2 e a nulidade de é 2.

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