Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base e1, ldots, en de V definamos A=(ai j) in Mn(R) por ai j=lang<= ei, ejrang<=(i, j=1, ldots, n).
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se u=sumi=1^n xi ei e v=sumi=1^n yi ei, então o produto escalar em V pode ser expresso na forma matricial seguinte: lang<= u, vrang<==(x1 x2 ldots xn) A(y1 y2 ldots yn)^t.

Passo 1

Vamos resolver as duas partes do exercício sobre espaços vetoriais euclidianos. Na parte a), precisamos provar que a matriz definida pelos produtos internos da base é simétrica. Na parte b), vamos mostrar como expressar o produto escalar de dois vetores e em termos dessa matriz . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas e produtos escalares em espaços vetoriais.

Passo 2

Parte a): Queremos provar que a matriz é simétrica, ou seja, .

Passo 3

Uma matriz é simétrica se para todo e , temos . Vamos analisar os elementos da matriz .

Passo 4

Dado que e . Como o produto interno é simétrico, temos .

Passo 5

Portanto, para todos os , o que significa que é simétrica.

Passo 6

Parte b): Queremos expressar o produto interno de dois vetores e em termos da matriz .

Passo 7

Primeiro, expressamos u = sumi=1^n xi ei e v = sumi=1^n yi ei e na base :

Passo 8

Calculamos o produto interno:
lang<= u, v rang<= = lang<= sumi=1^n xi ei, sumj=1^n yj ej rang<= = sumi=1^n sumj=1^n xi yj lang<= ei, ej rang<=

Passo 9

Observamos que lang<= u, v rang<= = sumi=1^n sumj=1^n xi aij yj , então:

Passo 10

Escrevendo isso em forma matricial, temos:
lang<= u, v rang<= = x1 & x2 & ldots & xn A y1 y2 vdots yn

Resposta

O produto interno lang<= u, v rang<= = x1 & x2 & ldots & xn A y1 y2 vdots yn pode ser expresso como:

Exercícios relacionados