Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base , de definamos por .
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e , então o produto escalar em pode ser expresso na forma matricial seguinte: .
Passo 1
Vamos resolver as duas partes do exercício sobre espaços vetoriais euclidianos. Na parte a), precisamos provar que a matriz definida pelos produtos internos da base é simétrica. Na parte b), vamos mostrar como expressar o produto escalar de dois vetores e em termos dessa matriz . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas e produtos escalares em espaços vetoriais.
Passo 2
Parte a): Queremos provar que a matriz é simétrica, ou seja, .
Passo 3
Uma matriz é simétrica se para todo e , temos . Vamos analisar os elementos da matriz .
Passo 4
Dado que e . Como o produto interno é simétrico, temos .
Passo 5
Portanto, para todos os , o que significa que é simétrica.
Passo 6
Parte b): Queremos expressar o produto interno de dois vetores e em termos da matriz .
Passo 7
Primeiro, expressamos e na base :
Passo 8
Calculamos o produto interno:
Passo 9
Observamos que , então:
Passo 10
Escrevendo isso em forma matricial, temos:
Resposta
O produto interno lang<= u, v rang<= = x1 & x2 & ldots & xn A y1 y2 vdots yn pode ser expresso como: