Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as bases de todos os autoespaços de uma transformação linear definida por . Isso envolve conteúdos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, a gente vai precisar descobrir os autovalores de e, em seguida, encontrar os vetores que correspondem a cada autovalor, ou seja, os autovetores. Esses vetores formam o autoespaço associado a cada autovalor, e a base desse autoespaço será a nossa resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, representa o autovalor e é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos escrever a matriz de . A transformação pode ser representada pela matriz:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz T - lambda I = -lambda & 0 & 0 -1 & -lambda & 1 0 & 0 & -lambda :
Passo 5
Calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
Agora que sabemos que o único autovalor é T(v) = 0 , vamos encontrar o autoespaço correspondente. O autoespaço é o conjunto de todos os vetores T(x, y, z) = (0, z - x, 0) = (0, 0, 0) que satisfazem . Como , queremos resolver:
Ou seja:
Passo 7
A equação 0 = 0 z - x = 0 0 = 0 nos dá as seguintes condições:
Da segunda equação, temos . As demais variáveis e são livres, mas já estabelecemos que .
Passo 8
Expressamos os vetores do autoespaço em termos das variáveis livres. Podemos escolher v = (x, y, z) = (x, y, x) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0) e como livres. Então:
Isso mostra que qualquer vetor no autoespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 9
Portanto, uma base para o autoespaço de , (1,, 0,, 1),; (0,, 1,, 0) , é formada por esses vetores: