Achar bases para todos autoespaços de T. T(x, y, z)=(0, z-x, 0);

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as bases de todos os autoespaços de uma transformação linear definida por . Isso envolve conteúdos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, a gente vai precisar descobrir os autovalores de e, em seguida, encontrar os vetores que correspondem a cada autovalor, ou seja, os autovetores. Esses vetores formam o autoespaço associado a cada autovalor, e a base desse autoespaço será a nossa resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 . Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, representa o autovalor e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos escrever a matriz de T = 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 . A transformação pode ser representada pela matriz:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz T - lambda I = -lambda & 0 & 0 -1 & -lambda & 1 0 & 0 & -lambda :

Passo 5

Calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
det(T - lambda I) = (-lambda) cdot det -lambda & 1 0 & -lambda - 0 + 0 = (-lambda) cdot ((-lambda)(-lambda) - 0) = -lambda (lambda^2) = -lambda^3
Igualando a zero:
-lambda^3 = 0 implies lambda^3 = 0 implies lambda = 0
Então, o único autovalor de é .

Passo 6

Agora que sabemos que o único autovalor é T(v) = 0 , vamos encontrar o autoespaço correspondente. O autoespaço é o conjunto de todos os vetores T(x, y, z) = (0, z - x, 0) = (0, 0, 0) que satisfazem . Como , queremos resolver:
Ou seja:

Passo 7

A equação 0 = 0 z - x = 0 0 = 0 nos dá as seguintes condições:
Da segunda equação, temos . As demais variáveis e são livres, mas já estabelecemos que .

Passo 8

Expressamos os vetores do autoespaço em termos das variáveis livres. Podemos escolher v = (x, y, z) = (x, y, x) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0) e como livres. Então:
Isso mostra que qualquer vetor no autoespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 9

Portanto, uma base para o autoespaço de , (1,, 0,, 1),; (0,, 1,, 0) , é formada por esses vetores:

Resposta

A base para o autoespaço de é .

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