Encontre as coordenadas do vetor 1+3 x+2 x^2 de P<= 2 em relação as seguintes bases: beta=5,5+x, 5+x^2

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um polinômio no espaço dos polinômios de grau até 2, . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse polinômio em relação à base . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como representação de vetores em diferentes bases e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o polinômio 1 + 3x + 2x^2 = c1 cdot 5 + c2 cdot (5 + x) + c3 cdot (5 + x^2) como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que vamos encontrar coeficientes , e tais que:

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado direito para facilitar a comparação dos termos:
c1 cdot 5 + c2 cdot (5 + x) + c3 cdot (5 + x^2) = 5c1 + 5c2 + 5c3 + c2 x + c3 x^2
Agora, organizamos os termos por grau de (5c1 + 5c2 + 5c3) + (c2)x + (c3)x^2 :

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
5c1 + 5c2 + 5c3 = 1 (termos constantes) c2 = 3 (coeficiente de x) c3 = 2 (coeficiente de x^2)

Passo 5

Já temos 5c1 + 5(3) + 5(2) = 1 5c1 + 15 + 10 = 1 5c1 + 25 = 1 5c1 = 1 - 25 5c1 = -24 c1 = -245 e , então substituímos esses valores na primeira equação para encontrar :

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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