Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de Im T. T(x, y, z)=(z, z, x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma aplicação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar duas bases: uma para o núcleo de T ( ) e outra para a imagem de T ( ).
Para isso, vamos precisar lembrar que:
  • Núcleo de T é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero por , ou seja, .
  • Imagem de T é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em .
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Vamos começar encontrando a base do núcleo de T. Queremos encontrar todos os vetores T(x, y, z) = (z, z, x) = (0, 0, 0) em z = 0 z = 0 x = 0 tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Do sistema, observamos que (x, y, z) = (0, y, 0) e . Não há restrição para , ou seja, pode ser qualquer número real. Então, os vetores no núcleo de têm a forma:
Podemos expressar isso como , onde .

Passo 4

Assim, a base do núcleo de T é o conjunto que contém apenas o vetor . Isso significa que todo vetor no núcleo de pode ser escrito como múltiplo desse vetor base.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a base da imagem de T. A imagem de T(x, y, z) = z cdot (1, 1, 0) + x cdot (0, 0, 1) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como .
Para encontrar uma base, vamos identificar os vetores que podem gerar qualquer vetor na imagem. Observando a transformação:
Isso mostra que a imagem é gerada pelos vetores e .

Passo 6

Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se não forem múltiplos um do outro, então formam uma base.
Claramente, e não são múltiplos um do outro, pois não existe um escalar tal que .

Passo 7

Portanto, os vetores e são linearmente independentes e geram a imagem de . Assim, eles formam uma base para .

Resposta

  • Base do núcleo de , (0, 1, 0) , :
    , (1, 1, 0), (0, 0, 1) ,
  • Base da imagem de :

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