Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar bases para todos os autoespaços de uma transformação linear definida por .
Matéria envolvida: Autovalores e autovetores de transformações lineares.
O que vamos precisar:
Encontrar os autovalores de resolvendo a equação característica.
Para cada autovalor encontrado, determinar o espaço dos autovetores (autoespaço) associado.
Encontrar uma base para cada autoespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Dado , a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 0 1 & -1 - lambda & 0 1 & 1 & 3 - lambda . Para isso, resolvemos a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Vamos calcular :
Passo 4
Calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det -1 - lambda & 0 1 & 3 - lambda :