Achar bases para todos autoespaços de T. T(x, y, z)=(2 x, x-y, x+y+3 z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar bases para todos os autoespaços de uma transformação linear definida por .
Matéria envolvida: Autovalores e autovetores de transformações lineares.
O que vamos precisar:
  • Encontrar os autovalores de resolvendo a equação característica.
  • Para cada autovalor encontrado, determinar o espaço dos autovetores (autoespaço) associado.
  • Encontrar uma base para cada autoespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 2 & 0 & 0 1 & -1 & 0 1 & 1 & 3 como uma matriz. Dado , a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 0 1 & -1 - lambda & 0 1 & 1 & 3 - lambda . Para isso, resolvemos a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Vamos calcular :

Passo 4

Calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det -1 - lambda & 0 1 & 3 - lambda :
= (2 - lambda) cdot [(-1 - lambda)(3 - lambda) - (0)(1)]
= (2 - lambda) cdot [(-1 - lambda)(3 - lambda)]
(-1 - lambda)(3 - lambda) = -3 + lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 2lambda - 3
Vamos expandir o produto:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 3) = 0
Portanto,

Passo 5

Resolvemos a equação característica:
(2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 3) = 0
Isso nos dá os autovalores:
  1. lambda = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
  2. lambda1 = 2 + 42 = 3 e lambda2 = 2 - 42 = -1
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Portanto,
Assim, os autovalores são , e .

Passo 6

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autoespaço correspondente resolvendo A - 2I = 0 & 0 & 0 1 & -3 & 0 1 & 1 & 1 .
Para 0x + 0y + 0z = 0 x - 3y = 0 x + y + z = 0 :
3y + y + z = 0 Rightarrow 4y + z = 0 Rightarrow z = -4y
Resolvemos o sistema:
v = 3y y -4y = y 3 1 -4
Da segunda equação, 3 1 -4 . Substituindo na terceira equação:
A - 3I = -1 & 0 & 0 1 & -4 & 0 1 & 1 & 0
Assim, os vetores do autoespaço são da forma:
- x = 0 x - 4y = 0 x + y = 0
Portanto, a base para o autoespaço de 0 - 4y = 0 Rightarrow y = 0 é 0 + 0 = 0 Rightarrow z livre .
Para v = 0 0 z = z 0 0 1 :
0 0 1
Resolvemos o sistema:
A + I = 3 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 4
Da primeira equação, 3x = 0 x + 0y = 0 x + y + 4z = 0 . Substituindo na segunda equação:
0 + y + 4z = 0 Rightarrow y = -4z
E na terceira equação:
v = 0 -4z z = z 0 -4 1
Portanto, os vetores do autoespaço são da forma:
0 -4 1
A base para o autoespaço de é .
Para :
Resolvemos o sistema:
Da primeira equação, . Da segunda equação, livre.
Substituindo na terceira equação:
Assim, os vetores do autoespaço são da forma:
Portanto, a base para o autoespaço de é .

Resposta

As bases para todos os autoespaços de 3 1 -4 são:
  • Para 0 0 1 : 0 -4 1
  • Para :
  • Para :

Exercícios relacionados