Considere as seguintes bases de
:
Encontre as coordenadas do vetor
nas bases
e
.
Passo 1
Vamos lá! Temos um vetor
e duas bases diferentes para
, que são:
O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor
em cada uma dessas bases. Para isso, precisamos entender que encontrar as coordenadas de um vetor em uma base específica significa expressar
como uma combinação linear dos vetores dessa base. Vamos precisar usar sistemas de equações lineares para descobrir os coeficientes dessa combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a base
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso significa que:
Essa equação nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Agora, substituímos o valor de
em uma das equações para encontrar
. Usando a segunda equação:
Passo 4
Portanto, as coordenadas de
na base
são:
Passo 5
Agora, vamos repetir o processo para a base
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso significa que:
Dessa forma, obtemos outro sistema de duas equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos o valor de
na primeira equação:
Passo 7
Portanto, as coordenadas de
na base
são:
Resposta
As coordenadas do vetor
são: