Considere as seguintes bases de R^3 :
alpha=(10,3),(-1,-1) e beta=(1,3),(2,1)
Encontre as coordenadas do vetor z=(3,7) nas bases alpha e beta.

Passo 1

Vamos lá! Temos um vetor z = (3, 7) e duas bases diferentes para R^2, que são:
alpha = (10, 3), (-1, -1) e beta = (1, 3), (2, 1)
O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor z em cada uma dessas bases. Para isso, precisamos entender que encontrar as coordenadas de um vetor em uma base específica significa expressar z como uma combinação linear dos vetores dessa base. Vamos precisar usar sistemas de equações lineares para descobrir os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a base alpha = (10, 3), (-1, -1). Queremos encontrar escalares a e b tais que:
z = a cdot (10, 3) + b cdot (-1, -1)
Isso significa que:
(3, 7) = (10a - b, 3a - b)
Essa equação nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
10a - b = 3 3a - b = 7

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar b:
(10a - b) - (3a - b) = 3 - 7 10a - b - 3a + b = -4 7a = -4 a = -47
Agora, substituímos o valor de a em uma das equações para encontrar b. Usando a segunda equação:
3(-47) - b = 7 -127 - b = 7 -b = 7 + 127 -b = 497 + 127 -b = 617 b = -617

Passo 4

Portanto, as coordenadas de z = (3, 7) na base alpha são:
[z]alpha = (-47, -617)

Passo 5

Agora, vamos repetir o processo para a base beta = (1, 3), (2, 1). Queremos encontrar escalares c e d tais que:
z = c cdot (1, 3) + d cdot (2, 1)
Isso significa que:
(3, 7) = (c + 2d, 3c + d)
Dessa forma, obtemos outro sistema de duas equações:
c + 2d = 3 3c + d = 7

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação:
3c + 6d = 9 3c + d = 7
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(3c + 6d) - (3c + d) = 9 - 7 5d = 2 d = 25
Agora, substituímos o valor de d na primeira equação:
c + 2(25) = 3 c + 45 = 3 c = 3 - 45 c = 155 - 45 c = 115

Passo 7

Portanto, as coordenadas de z = (3, 7) na base beta são:
[z]beta = (115, 25)

Resposta

As coordenadas do vetor z = (3, 7) são:
[z]alpha = (-47, -617) e [z]beta = (115, 25)

Exercícios relacionados