Achar bases para todos autoespaços de T. T(x, y, z)=(2 x,-2 y, x+y+3 z);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos encontrar as bases para todos os autoespaços da transformação linear definida por . Isso envolve trabalhar com autovalores e autovetores na matéria de álgebra linear. Vamos precisar montar a matriz da transformação, encontrar os autovalores resolvendo o determinante e, para cada autovalor, achar os vetores próprios que vão formar as bases dos autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = 2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 1 & 1 & 3 como uma matriz. Observando como age nos vetores , podemos escrever a matriz de assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica det 2 - lambda & 0 & 0 0 & -2 - lambda & 0 1 & 1 & 3 - lambda = 0 , onde (2 - lambda) cdot (-2 - lambda) cdot (3 - lambda) = 0 é a matriz identidade e lambda1 = 2, lambda2 = -2, lambda3 = 3 representa os autovalores.
Calculando o determinante:
Isso nos dá os autovalores:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada A - 2I = 0 & 0 & 0 0 & -4 & 0 1 & 1 & 1 , resolvemos 0x + 0y + 0z = 0 0x - 4y + 0z = 0 x + y + z = 0 , onde , (1,, 0,, -1) , é o autovetor.

Para A + 2I = 4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 1 & 5 :
4x = 0 0 = 0 x + y + 5z = 0
Isso nos dá o sistema:
, (0,, -5,, 1) ,
Da segunda equação, temos A - 3I = -1 & 0 & 0 0 & -5 & 0 1 & 1 & 0 . Da terceira, - x = 0 -5y = 0 x + y = 0 ou seja, , (0,, 0,, 1) , . Portanto, os autovetores são da forma . Escolhendo , temos o autovetor .
Base do autoespaço para :

Para :
O sistema fica:
Da primeira equação, . Da terceira, . Portanto, os autovetores são da forma . Escolhendo , temos o autovetor .
Base do autoespaço para :

Para :
O sistema resultante é:
Da primeira e segunda equações, temos e . A terceira equação já é satisfeita com esses valores. Assim, os autovetores são da forma . Escolhendo , obtemos o autovetor .
Base do autoespaço para :

Resposta

As bases para todos os autoespaços de são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Exercícios relacionados