Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da tem forma diagonal e achar esta matriz. ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com transformações lineares na álgebra linear e queremos saber se a transformação dada é diagonalizável. Se for, vamos encontrar uma base onde a matriz de é diagonal e determinar essa matriz diagonal.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a matriz da transformação . A transformação é definida por:
Portanto, a matriz de é:
Passo 3
Para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se há autovetores suficientes para formar uma base do espaço. Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
Onde det(A - lambda I) = (-5 - lambda)^3 é a matriz identidade e (-5 - lambda)^3 = 0 implies lambda = -5 (com mu representa os autovalores.
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Passo 4
Como todos os autovalores são iguais a (A + 5I)v = 0 com multiplicidade 3, precisamos verificar se existem 3 autovetores linearmente independentes associados a A + 5I = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 . Isso determina se a matriz é diagonalizável.
Vamos encontrar os autovetores resolvendo:
0x + 0y + 0z = 0 x + 0y + 0z = 0 x + y + 0z = 0
Calculando 0 + y = 0 implies y = 0 :
Agora, resolvemos o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na terceira equação:
A variável é livre, então os autovetores são da forma , onde pode ser qualquer número real.
Passo 5
Observamos que todos os autovetores têm a forma , ou seja, existe apenas uma dimensão de autovetores para o autovalor . Porém, para a matriz ser diagonalizável, precisamos de três autovetores linearmente independentes (igual à multiplicidade algébrica do autovalor).
Como temos apenas um autovetor, que é insuficiente para formar uma base, concluímos que não é diagonalizável.