Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as bases de todos os autoespaços da transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com autoespaços e autovalores, que são conceitos importantes em Álgebra Linear. Precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) de e, para cada um, determinar o conjunto de vetores que são transformados por apenas por um fator escalar (os próprios vetores, ou autovetores).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica det() = 0, onde são os autovalores e é a matriz identidade.
A matriz de é:
Subtraindo da diagonal principal, temos:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são , e .
Passo 3
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autoespaço, ou seja, o conjunto de vetores 0 = 0x + 0y + 0z 3y = 0 x - z = 0 que satisfazem 0 = 3x 3y = 3y x - z = 3z .
Para 0 = -x 3y = -y x - z = -z :
Resolvemos , ou seja:
Da segunda equação, . Da terceira, . Então, os vetores são da forma . Portanto, a base do autoespaço associado a é .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação, . Da terceira, . Então, é livre. Os vetores são da forma . Portanto, a base do autoespaço associado a é .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação, . Da segunda, . Da terceira, , que é sempre verdadeiro. Então, é livre. Os vetores são da forma . Portanto, a base do autoespaço associado a é .