Achar bases para todos autoespaços de T. T(x, y, z)=(0,3 y, x-z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as bases de todos os autoespaços da transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com autoespaços e autovalores, que são conceitos importantes em Álgebra Linear. Precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) de e, para cada um, determinar o conjunto de vetores que são transformados por apenas por um fator escalar (os próprios vetores, ou autovetores).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 1 & 0 & -1 . Para isso, precisamos resolver a equação característica det( T - lambda I = -lambda & 0 & 0 0 & 3 - lambda & 0 1 & 0 & -1 - lambda ) = 0, onde det(T - lambda I) = (-lambda) cdot (3 - lambda) cdot (-1 - lambda) = 0 são os autovalores e -lambda (3 - lambda) (-1 - lambda) = 0 Rightarrow lambda = 0, lambda = 3, lambda = -1 é a matriz identidade.
A matriz de é:
Subtraindo da diagonal principal, temos:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são , e .

Passo 3

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autoespaço, ou seja, o conjunto de vetores 0 = 0x + 0y + 0z 3y = 0 x - z = 0 que satisfazem 0 = 3x 3y = 3y x - z = 3z .
Para 0 = -x 3y = -y x - z = -z :
Resolvemos , ou seja:
Da segunda equação, . Da terceira, . Então, os vetores são da forma . Portanto, a base do autoespaço associado a é .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação, . Da terceira, . Então, é livre. Os vetores são da forma . Portanto, a base do autoespaço associado a é .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação, . Da segunda, . Da terceira, , que é sempre verdadeiro. Então, é livre. Os vetores são da forma . Portanto, a base do autoespaço associado a é .

Resposta

As bases dos autoespaços de são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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