Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e obter as equações das assíntotas da hipérbole 9 x^2-16 y^2-36 x-32 y=124.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a equação de uma hipérbole:
9x^2 -16y^2 -36x -32y =124
Precisamos encontrar:
  • Centro da hipérbole
  • Focos
  • Vértices
  • Equações das assíntotas
Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado e colocar a equação na forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos de 9x^2 -36x -16y^2 -32y =124 e 9(x^2 -4x) -16(y^2 +2y) =124:
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar a conclusão do quadrado:

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de 9(x^2 -4x +4 -4) e =9[(x-2)^2 -4]:
Para -16(y^2 +2y +1 -1):
  • Pegamos o coeficiente de =-16[(y+1)^2 -1], que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Para :
  • Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:

Passo 4

Atualizando a equação com os quadrados completados:
9[(x-2)^2 -4] -16[(y+1)^2 -1] =124
Distribuindo os coeficientes:
9(x-2)^2 -36 -16(y+1)^2 +16 =124
Simplificando os termos constantes:
9(x-2)^2 -16(y+1)^2 -20 =124

Passo 5

Isolando os termos com 9(x-2)^2 -16(y+1)^2 =144 e (x-2)^216 - (y+1)^29 =1:
(x-2)^216 - (y+1)^29 =1
Dividindo toda a equação por 144 para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:

Passo 6

Agora, temos a equação na forma padrão da hipérbole:
(x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 =1
onde é o centro, é a distância do centro aos vértices no eixo , e está relacionado às assíntotas.
Comparando com a nossa equação:

Passo 7

Centro da hipérbole:
Vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
  • Vértice direito:
  • Vértice esquerdo:

Passo 8

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 =16 +9 =25 Rightarrow c=5:
Os focos também estão ao longo do eixo , a uma distância do centro:
  • Foco direito:
  • Foco esquerdo:

Passo 9

As assíntotas de uma hipérbole na forma y = k pm ba(x - h) são dadas por:
y = -1 pm 34(x -2)
Substituindo os valores:
Simplificando:
  • Assíntota 1:
  • Assíntota 2:

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Equações das assíntotas:

Exercícios relacionados

Plote os seguintes cones:
z^2=x^2-2 x+y^2-4 y
Plote os seguintes paraboloides:
z=x^2+4 x+y^2-6 y+15
A hipérbole H: x y-1=0 tem focos F1(raiz2, raiz2) e F2(-raiz2,-raiz2). Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto T(1, 12).
Seja T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x+y, x+z). Indique:
[T]B^A considerando A e B bases canônicas.