Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e obter as equações das assíntotas da hipérbole
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a equação de uma hipérbole:
Precisamos encontrar:
- Centro da hipérbole
- Focos
- Vértices
- Equações das assíntotas
Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado e colocar a equação na forma padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos de
e
:
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar a conclusão do quadrado:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
e
:
Para
:
-
Pegamos o coeficiente de
, que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . -
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Para
:
-
Pegamos o coeficiente de
, que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . -
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Passo 4
Atualizando a equação com os quadrados completados:
Distribuindo os coeficientes:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Isolando os termos com
e
:
Dividindo toda a equação por 144 para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:
Passo 6
Agora, temos a equação na forma padrão da hipérbole:
onde
é o centro,
é a distância do centro aos vértices no eixo
, e
está relacionado às assíntotas.
Comparando com a nossa equação:
Passo 7
Centro da hipérbole:
Vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
- Vértice direito:
- Vértice esquerdo:
Passo 8
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Os focos também estão ao longo do eixo
, a uma distância
do centro:
- Foco direito:
- Foco esquerdo:
Passo 9
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são dadas por:
Substituindo os valores:
Simplificando:
- Assíntota 1:
- Assíntota 2:
Resposta
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Equações das assíntotas:
-
Exercícios relacionados
Plote os seguintes cones:
Plote os seguintes paraboloides:
A hipérbole
tem focos
e
. Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto
.
Seja
tal que
. Indique:
considerando
e
bases canônicas.