Plote os seguintes cones:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para plotar o cone dado pela equação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quádricas como cones. Vamos precisar completar o quadrado para simplificar a equação e identificar melhor a forma do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. A equação dada é:
Vamos reescrever os termos de
e
para completar os quadrados.
Passo 3
Para completar o quadrado em
, pegamos os termos
. O termo que completa o quadrado é
. Então:
Passo 4
Fazendo o mesmo para
, com os termos
. O termo que completa o quadrado é
. Então:
Passo 5
Substituímos essas expressões de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos isolar os termos quadr��ticos:
Essa é a equação de um cone. Ela mostra que para cada valor de
, a seção transversal é um círculo com raio
.
Passo 7
Para fazer o gráfico, podemos identificar que o cone está centrado no ponto
e se abre ao longo do eixo
. O termo
indica que o cone é simétrico em relação ao plano
.
Passo 8
Portanto, o cone tem seu vértice mais baixo no ponto
e se expande para cima e para baixo à medida que
aumenta ou diminui. Cada “fatia” do cone em diferentes alturas de
será um círculo com raio aumentando à medida que nos afastamos do vértice.
Resposta
O cone definido pela equação
está centrado no ponto
e é simétrico em relação ao plano
. Ele se abre ao longo do eixo
, com cada seção transversal sendo um círculo cujo raio aumenta conforme
se afasta do vértice. Para plotar, considere o vértice em
e desenhe círculos de raios crescentes nas diferentes alturas de
.
Exercícios relacionados
Plote os seguintes paraboloides:
Plote as seguintes elipses:
Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e obter as equações das assíntotas da hipérbole
.
A hipérbole
tem focos
e
. Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto
.