Plote os seguintes cones:
z^2=x^2-2 x+y^2-4 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para plotar o cone dado pela equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quádricas como cones. Vamos precisar completar o quadrado para simplificar a equação e identificar melhor a forma do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. A equação dada é:
z^2 = x^2 - 2x + y^2 - 4y
Vamos reescrever os termos de e para completar os quadrados.

Passo 3

Para completar o quadrado em x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 , pegamos os termos . O termo que completa o quadrado é . Então:

Passo 4

Fazendo o mesmo para y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 , com os termos . O termo que completa o quadrado é . Então:

Passo 5

Substituímos essas expressões de volta na equação original:
z^2 = (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4
Simplificando:
z^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 5

Passo 6

Agora, vamos isolar os termos quadr��ticos:
z^2 + 5 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2
Essa é a equação de um cone. Ela mostra que para cada valor de , a seção transversal é um círculo com raio .

Passo 7

Para fazer o gráfico, podemos identificar que o cone está centrado no ponto e se abre ao longo do eixo . O termo indica que o cone é simétrico em relação ao plano .

Passo 8

Portanto, o cone tem seu vértice mais baixo no ponto e se expande para cima e para baixo à medida que aumenta ou diminui. Cada “fatia” do cone em diferentes alturas de será um círculo com raio aumentando à medida que nos afastamos do vértice.

Resposta

O cone definido pela equação está centrado no ponto e é simétrico em relação ao plano . Ele se abre ao longo do eixo , com cada seção transversal sendo um círculo cujo raio aumenta conforme se afasta do vértice. Para plotar, considere o vértice em e desenhe círculos de raios crescentes nas diferentes alturas de .

Exercícios relacionados

Plote os seguintes paraboloides:
z=x^2+4 x+y^2-6 y+15
Plote as seguintes elipses:
x^2+8 x+y^2-8 y=0
Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e obter as equações das assíntotas da hipérbole 9 x^2-16 y^2-36 x-32 y=124.
A hipérbole H: x y-1=0 tem focos F1(raiz2, raiz2) e F2(-raiz2,-raiz2). Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto T(1, 12).