Plote os seguintes paraboloides:
z=x^2+4 x+y^2-6 y+15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa plotar o paraboloide dado pela equação . Esse tipo de problema está relacionado a gráficos de funções de duas variáveis, especificamente paraboloides. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado nas variões de e para facilitar a visualização do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos que envolvem (42)^2 = 4 na equação: (x + 2)^2 - 4 . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, reescrevemos como:

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos que envolvem (-62)^2 = 9 : (y - 3)^2 - 9 . Pegamos o coeficiente de , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Reescrevemos como:

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
z = (x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 15
Simplificando os termos constantes:
z = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + 2

Passo 5

Agora, a equação está na forma padrão de um paraboloide elíptico:
z = (x - h)^2 + (y - k)^2 + c
Onde h = -2, k = 3, c = 2 é o vértice do paraboloide. No nosso caso:
Isso significa que o paraboloide tem seu vértice no ponto e abre para cima, já que os coeficientes de e são positivos.

Resposta

O paraboloide pode ser reescrito na forma padrão , com vértice no ponto e abre para cima.

Exercícios relacionados

Plote as seguintes elipses:
x^2+8 x+y^2-8 y=0
Considere a reta r que passa pelo ponto (-5,-3,8) e tem a direção do vetor (2,-9,18).
Determine 5 pontos da reta r.
Plote os seguintes cones:
z^2=x^2-2 x+y^2-4 y
Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e obter as equações das assíntotas da hipérbole 9 x^2-16 y^2-36 x-32 y=124.