Plote os seguintes paraboloides:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa plotar o paraboloide dado pela equação
. Esse tipo de problema está relacionado a gráficos de funções de duas variáveis, especificamente paraboloides. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado nas variões de
e
para facilitar a visualização do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos que envolvem
na equação:
. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, reescrevemos
como:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos que envolvem
:
. Pegamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Reescrevemos
como:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Agora, a equação está na forma padrão de um paraboloide elíptico:
Onde
é o vértice do paraboloide. No nosso caso:
Isso significa que o paraboloide tem seu vértice no ponto
e abre para cima, já que os coeficientes de
e
são positivos.
Resposta
O paraboloide
pode ser reescrito na forma padrão
, com vértice no ponto
e abre para cima.
Exercícios relacionados
Plote as seguintes elipses:
Considere a reta r que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
.
Determine 5 pontos da reta r.
Determine 5 pontos da reta r.
Plote os seguintes cones:
Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e obter as equações das assíntotas da hipérbole
.