A hipérbole
tem focos
e
. Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole definida por
com dois focos dados e precisa achar a equação da reta tangente nessa hipérbole no ponto
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre como encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação da reta tangente a uma hipérbole no ponto
pode ser encontrada usando a derivada implícita ou uma fórmula direta. No caso da hipérbole
, a fórmula da reta tangente no ponto
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula no ponto
. Aqui,
e
. Substituindo esses valores na equação da tangente:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara. Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Passo 5
Finalmente, podemos escrever a equação na forma mais conhecida da reta, isolando
:
Resposta
A equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto
é:
Exercícios relacionados
Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e obter as equações das assíntotas da hipérbole
.
Plote os seguintes cones:
Seja
tal que
. Indique:
considerando
e
bases canônicas.
Escolha alguns vetores de
, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador
anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.