Achar a curva y(x) que passa pela origem, para a qual y'' = y' e a tangente na origem é y = x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a curva que passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0,0). Além disso, a segunda derivada de em relação a é igual à primeira derivada, ou seja, . Também sabemos que a tangente na origem é , o que nos dá uma condição inicial. Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais, que são fundamentais para descrever várias situações em matemática e física.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada: . Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 3

Para resolver a equação , podemos reescrever isso como . Agora, temos uma equação diferencial homogênea de equação característica associada. Vamos encontrar as raízes dessa equação característica para determinar a solução geral.

Passo 4

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial. Assim, temos:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero), obtendo:
Isso nos dá as raízes:

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 6

Sabemos que a curva passa pela origem, ou seja, quando , . Vamos aplicar essa condição:
Então,

Passo 7

Também sabemos que a tangente na origem é . A inclinação da tangente é a derivada de em . Vamos calcular :
Aplicando :
Então,

Passo 8

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a solução particular:

Resposta

A curva que satisfaz as condições dadas é:

Exercícios relacionados