Achar a curva
que passa pela origem, para a qual
e a tangente na origem é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a curva
que passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0,0). Além disso, a segunda derivada de
em relação a
é igual à primeira derivada, ou seja,
. Também sabemos que a tangente na origem é
, o que nos dá uma condição inicial. Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais, que são fundamentais para descrever várias situações em matemática e física.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
. Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Para resolver a equação
, podemos reescrever isso como
. Agora, temos uma equação diferencial homogênea de equação característica associada. Vamos encontrar as raízes dessa equação característica para determinar a solução geral.
Passo 4
A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial. Assim, temos:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero), obtendo:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 6
Sabemos que a curva passa pela origem, ou seja, quando
,
. Vamos aplicar essa condição:
Então,
Passo 7
Também sabemos que a tangente na origem é
. A inclinação da tangente é a derivada de
em
. Vamos calcular
:
Aplicando
:
Então,
Passo 8
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a solução particular:
Resposta
A curva que satisfaz as condições dadas é: