Dadas f(t, u) = t^3 - u, g(t, u) = t - u^2 e phi(t, u) = f^2 * g^2, calcule phi_t e phi_u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de em relação a t e u. Estamos trabalhando com funções que envolvem potências e derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto para derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
Queremos encontrar phi_t e phi_u, que são as derivadas parciais de phi em relação a t e u, respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando phi_t. Usaremos a regra da cadeia para derivar produtos de funções. A derivada de em relação a t é:
Aqui, e são as derivadas parciais de f e g em relação a t.

Passo 4

Calculando e :
  • então
  • então
Substituindo na expressão de phi_t:

Passo 5

Agora, vamos calcular phi_u usando a mesma abordagem:
Onde e são as derivadas parciais de f e g em relação a u.

Passo 6

Calculando e :
  • então
  • então
Substituindo na expressão de phi_u:

Resposta

As derivadas parciais são:

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