Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções: u=x e^-y ; x=arctg(r s t) ; y=ln (3 r s+5 s t) ; partial upartial r ; partial upartial s ; partial upartial t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais de uma função usando a regra da cadeia. As funções que estamos lidando são:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r depende de e , que por sua vez dependem de , e . A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
E de forma similar para e .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas necessárias. Primeiro, as derivadas parciais de partial upartial x = e^-y em relação a partial upartial y = -x e^-y e :
Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a , e .

Passo 4

Começando com x = arctan(r s t) :
partial xpartial r = 11 + (r s t)^2 cdot s t
y = ln(3 r s + 5 s t)
Para partial ypartial r = 3 s3 r s + 5 s t :

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia para partial upartial r = e^-y cdot s t1 + (r s t)^2 + (-x e^-y) cdot 3 s3 r s + 5 s t :
partial upartial r = s t e^-y1 + (r s t)^2 - 3 s x e^-y3 r s + 5 s t
Simplificando:

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para partial xpartial s = r t1 + (r s t)^2 .
Primeiro, encontramos partial ypartial s = 3 r + 5 t3 r s + 5 s t :
partial upartial s = e^-y cdot r t1 + (r s t)^2 + (-x e^-y) cdot 3 r + 5 t3 r s + 5 s t
E partial upartial s = r t e^-y1 + (r s t)^2 - (3 r + 5 t) x e^-y3 r s + 5 s t :
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 7

Por fim, vamos calcular partial xpartial t = r s1 + (r s t)^2 .
Primeiro, partial ypartial t = 5 s3 r s + 5 s t :
partial upartial t = e^-y cdot r s1 + (r s t)^2 + (-x e^-y) cdot 5 s3 r s + 5 s t
E partial upartial t = r s e^-y1 + (r s t)^2 - 5 s x e^-y3 r s + 5 s t :
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função partial upartial r = s t e^-y1 + (r s t)^2 - 3 s x e^-y3 r s + 5 s t são:
partial upartial s = r t e^-y1 + (r s t)^2 - (3 r + 5 t) x e^-y3 r s + 5 s t
partial upartial t = r s e^-y1 + (r s t)^2 - 5 s x e^-y3 r s + 5 s t

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