Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais de uma função usando a regra da cadeia. As funções que estamos lidando são:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
. A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
E de forma similar para
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas necessárias. Primeiro, as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
,
e
.
Passo 4
Começando com
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia para
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para
.
Primeiro, encontramos
:
E
:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 7
Por fim, vamos calcular
.
Primeiro,
:
E
:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: