Calcule as integrais dadas a seguir: integral0^4(raizt imath+t e^-t jmath+1t^2 k) d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral vetorial integral0^4(raizt imath + t e^-t jmath + 1t^2 k) dt. Aqui, estamos lidando com cálculo integral aplicado a vetores. Para resolver isso, vamos integrar cada componente do vetor separadamente: a direção imath, a direção jmath e a direção k.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente na direção imath, que é raizt. A integral de raizt em relação a t é dada por:
integral raizt , dt = integral t^1/2 , dt = 23 t^3/2 + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida de 0 a 4, a constante C se cancela.

Passo 3

Agora, integramos a componente na direção jmath, que é t e^-t. Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos u = t e dv = e^-t dt. Assim:
integral t e^-t , dt = -t e^-t + integral e^-t , dt = -t e^-t - e^-t + C
Novamente, como é uma integral definida, a constante C não é necessária.

Passo 4

Por último, vamos integrar a componente na direção k, que é 1t^2. A integral de 1t^2 em relação a t é:
integral 1t^2 , dt = -1t + C
No entanto, ao avaliarmos de 0 a 4, notamos que quando t se aproxima de 0, -1t tende ao infinito. Isso significa que a integral não converge; ou seja, ela é infinita.

Resposta

A integral vetorial é dada por:
integral0^4(raizt imath + t e^-t jmath + 1t^2 k) dt = 23 t^3/2 imath|0^4 + (-t e^-t - e^-t) jmath|0^4 + -1t k|0^4
Calculando cada parte:
  • Componente imath:
23 (4)^3/2 - 23 (0)^3/2 = 23 times 8 = 163 imath
  • Componente jmath:
[-4 e^-4 - e^-4] - [0 - 1] = -5 e^-4 + 1 jmath
  • Componente k:
A integral diverge para t=0, portanto, a componente k não contribui para um resultado finito.
Então, a resposta final é:
163 imath + (1 - 5 e^-4) jmath

Exercícios relacionados