Achar o deslocamento resultante dos seguintes deslocamentos: A, 20 km, 30^circ SE ; B, 50 km para Oeste; C, 40 km, 45^circ NE ; D, 30 km, 60^circ SE.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de adição de vetores, que faz parte da matéria de Física, especificamente na parte de Vetores e Deslocamentos. Para achar o deslocamento resultante desses quatro vetores, vamos precisar decompor cada vetor em suas componentes horizontal (Leste-Oeste) e vertical (Norte-Sul), somar essas componentes e, por fim, calcular a magnitude e a direção do vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor cada vetor nas direções Leste-Oeste e Norte-Sul. Lembre-se que “SE” significa sudeste e “NE” significa nordeste, que são direções intermediárias entre os eixos principais.

Passo 3

Vamos começar com o vetor A:
  • A = 20 km a 30° SE
    • Componente Leste: Ax = 20 cos(30°) = 20 times raiz32 approx 17,32 km (negativo porque é para o Sudeste)
    • Componente Sul: Ay = 20 sin(30°) = 20 times 12 = 10 km

Passo 4

Agora, o vetor B:
  • B = 50 km para Oeste
    • Componente Leste: Bx = -50 km (já que é para Oeste)
    • Componente Sul: By = 0 km

Passo 5

Vamos decompor o vetor C:
  • C = 40 km a 45° NE
    • Componente Leste: Cx = 40 cos(45°) = 40 times raiz22 approx 28,28 km
    • Componente Norte: Cy = 40 sin(45°) = 40 times raiz22 approx 28,28 km (positivo porque é Norte)

Passo 6

Por fim, o vetor D:
  • D = 30 km a 60° SE
    • Componente Leste: Dx = 30 cos(60°) = 30 times 12 = 15 km (negativo porque é para o Sudeste)
    • Componente Sul: Dy = 30 sin(60°) = 30 times raiz32 approx 25,98 km

Passo 7

Agora, somamos todas as componentes Leste-Oeste e todas as componentes Norte-Sul:
  • Soma das componentes Leste-Oeste: Rx = Ax + Bx + Cx + Dx = (-17,32) + (-50) + 28,28 + (-15) approx -54,04 km
  • Soma das componentes Norte-Sul: Ry = Ay + By + Cy + Dy = 10 + 0 + 28,28 + (-25,98) approx 12,30 km

Passo 8

Agora, vamos calcular a magnitude do deslocamento resultante usando o Teorema de Pitágoras:
|R| = raizRx^2 + Ry^2 = raiz(-54,04)^2 + (12,30)^2 approx raiz2919,33 + 151,29 approx raiz3070,62 approx 55,40 km

Passo 9

Para achar a direção do vetor resultante, calculamos o ângulo em relação à direção Oeste (já que a componente Leste-Oeste é negativa):
theta = tan^-1(Ry|Rx|) = tan^-1(12,3054,04) approx tan^-1(0,227) approx 12,8° Norte de Oeste

Resposta

O deslocamento resultante é de aproximadamente 55,40 km na direção de 12,8° Norte de Oeste.

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