Achar a distancia maxima que você consegue jogar uma bola dentro de uma sala sem bater nas paredes e teto, se a altura da sala é h=8 m e a velocidade inicial da bola é v=20 ms. A bola parte do piso (altura de corpo humano é descartada).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância máxima que você consegue jogar uma bola dentro de uma sala sem que ela bata nas paredes e no teto. A sala tem uma altura de e a velocidade inicial da bola é . Vamos usar conceitos de movimento projetil para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a bola se move quando é lançada. Esse tipo de movimento é chamado de movimento projetil, onde a bola tem uma componente horizontal e uma vertical. A velocidade inicial vx = v cdot cos(theta) pode ser decomposta em duas partes: uma horizontal ( vy = v cdot sin(theta) ) e outra vertical ( ).
A fórmula para essas componentes é:
onde é o ângulo de lançamento.

Passo 3

Para a bola não bater no teto, precisamos que a altura máxima que ela alcança seja menor ou igual a H = vy^22g . A altura máxima ( v^2 cdot sin^2(theta)2g <= 8 ) em um movimento projetil é dada por:
onde é a aceleração da gravidade ( ).
Como queremos que :

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade para encontrar o ângulo 20^2 cdot sin^2(theta)2 cdot 9,8 <= 8 :
400 cdot sin^2(theta)19,6 <= 8
sin^2(theta) <= 8 cdot 19,6400
sin^2(theta) <= 0,392
sin(theta) <= raiz0,392 approx 0,626
theta approx arcsin(0,626) approx 38,7^circ

Passo 5

Agora que temos o ângulo ideal ( R = v^2 cdot sin(2theta)g ), podemos calcular a distância máxima ( R = 20^2 cdot sin(2 cdot 38,7^circ)9,8 ) que a bola percorre. A fórmula para o alcance máximo em movimento projetil é:
R = 400 cdot sin(77,4^circ)9,8
Substituindo os valores:
R approx 400 cdot 0,9749,8
R approx 389,69,8 approx 39,76 , m

Resposta

A distância máxima que você consegue jogar a bola sem bater nas paredes e no teto é aproximadamente 40 metros.

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