Um ponto material deslize sem atrito numa superfície arbitraria passando assim uma altura
. Se a velocidade inicial de ponto material é zero, demonstrar que a velocidade final seja igual ao mesma da queda livre de altura
partindo de repouso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto material que desliza sem atrito em uma superfície qualquer, passando por uma altura
. A velocidade inicial é zero. O objetivo é mostrar que a velocidade final dele é a mesma que teria se ele caísse livremente de uma altura
começando do repouso. Para resolver isso, vamos usar conservação de energia, que ajuda a relacionar energia potencial e energia cinética quando não tem atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. No ponto mais alto, onde o ponto está na altura
, toda a energia é potencial gravitacional, que é dada por:
onde:
-
é a massa do ponto material, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Passo 3
Como não tem atrito na superfície, a energia total é conservada. Isso significa que a energia potencial inicial vai se transformar totalmente em energia cinética no ponto mais baixo. A energia cinética é dada por:
onde:
-
é a velocidade final que queremos encontrar.
Passo 4
Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Multiplicando ambos os lados por 2:
E tirando a raiz quadrada:
Resposta
Então, a velocidade final do ponto material é igual a
, que é a mesma velocidade que se o ponto tivesse caído livremente de uma altura
começando do repouso.