Um ponto material deslize sem atrito numa superfície arbitraria passando assim uma altura h. Se a velocidade inicial de ponto material é zero, demonstrar que a velocidade final seja igual ao mesma da queda livre de altura h partindo de repouso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto material que desliza sem atrito em uma superfície qualquer, passando por uma altura . A velocidade inicial é zero. O objetivo é mostrar que a velocidade final dele é a mesma que teria se ele caísse livremente de uma altura começando do repouso. Para resolver isso, vamos usar conservação de energia, que ajuda a relacionar energia potencial e energia cinética quando não tem atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. No ponto mais alto, onde o ponto está na altura Ep = mgh , toda a energia é potencial gravitacional, que é dada por:
onde:
  • é a massa do ponto material,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.

Passo 3

Como não tem atrito na superfície, a energia total é conservada. Isso significa que a energia potencial inicial vai se transformar totalmente em energia cinética no ponto mais baixo. A energia cinética é dada por:
Ek = 12mv^2
onde:
  • é a velocidade final que queremos encontrar.

Passo 4

Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
mgh = 12mv^2
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por gh = 12v^2 :

Passo 5

Agora, vamos resolver para 2gh = v^2 . Multiplicando ambos os lados por 2:
v = raiz2gh
E tirando a raiz quadrada:

Resposta

Então, a velocidade final do ponto material é igual a , que é a mesma velocidade que se o ponto tivesse caído livremente de uma altura começando do repouso.

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