Explique por que a temperatura de um gás diminui em um processo adiabático. Demonstre matematicamente a relação piVi^gamma=pfVf^gamma, onde gamma=Cp / Cw.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer entender por que a temperatura de um gás diminui em um processo adiabático e também quer ver como a relação é derivada, onde . Isso está dentro da matéria de Termodinâmica, mais especificamente em processos de gases ideais e relações adiabáticas. Para resolver, vamos precisar da primeira lei da termodinâmica, da definição de processos adiabáticos e das propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor ( ) entre o sistema (o gás) e o ambiente. Isso significa que toda a variação de energia interna do gás é igual ao trabalho realizado.

Passo 3

A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
De
Como De no processo adiabático, fica:
Isso significa que a energia interna do gás diminui quando ele realiza trabalho, o que leva à queda na temperatura.

Passo 4

Agora, vamos lembrar que para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura:
De
Onde:
  • é o número de mols,
  • é a capacidade calorífica a volume constante,
  • é a variação de temperatura.
Como é negativo (porque o trabalho é positivo quando o gás se expande), isso implica que é negativo, ou seja, a temperatura diminui.

Passo 5

Para derivar a relação pV^gamma = constante , começamos com a equação geral dos processos adiabáticos para um gás ideal:
Onde .

Passo 6

Essa equação pode ser derivada combinando a primeira lei da termodinâmica com a equação de estado do gás ideal ( Cp - Cv = R ) e as relações entre as capacidades caloríficas.
Primeiro, sabemos que:
gamma = CpCv = 1 + RCv
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Usando essas relações e integrando a primeira lei para um processo adiabático, chegamos à expressão:
pV^gamma = piVi^gamma
Isso mostra que o produto da pressão pelo volume elevado a permanece constante durante o processo adiabático.

Resposta

Assim, mostramos que em um processo adiabático, a temperatura do gás diminui porque a energia interna é usada para realizar trabalho, e matematicamente, a relação é válida, onde .

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