Explique por que a temperatura de um gás diminui em um processo adiabático. Demonstre matematicamente a relação
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer entender por que a temperatura de um gás diminui em um processo adiabático e também quer ver como a relação
é derivada, onde
. Isso está dentro da matéria de Termodinâmica, mais especificamente em processos de gases ideais e relações adiabáticas. Para resolver, vamos precisar da primeira lei da termodinâmica, da definição de processos adiabáticos e das propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor (
) entre o sistema (o gás) e o ambiente. Isso significa que toda a variação de energia interna do gás é igual ao trabalho realizado.
Passo 3
A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
Como
no processo adiabático, fica:
Isso significa que a energia interna do gás diminui quando ele realiza trabalho, o que leva à queda na temperatura.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura:
Onde:
-
é o número de mols, -
é a capacidade calorífica a volume constante, -
é a variação de temperatura.
Como
é negativo (porque o trabalho
é positivo quando o gás se expande), isso implica que
é negativo, ou seja, a temperatura diminui.
Passo 5
Para derivar a relação
, começamos com a equação geral dos processos adiabáticos para um gás ideal:
Onde
.
Passo 6
Essa equação pode ser derivada combinando a primeira lei da termodinâmica com a equação de estado do gás ideal (
) e as relações entre as capacidades caloríficas.
Primeiro, sabemos que:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Usando essas relações e integrando a primeira lei para um processo adiabático, chegamos à expressão:
Isso mostra que o produto da pressão pelo volume elevado a
permanece constante durante o processo adiabático.
Resposta
Assim, mostramos que em um processo adiabático, a temperatura do gás diminui porque a energia interna é usada para realizar trabalho, e matematicamente, a relação
é válida, onde
.