Achar a distância entre as retas r1 e r2, nos casos:
r1:lx=2-lambda y=3+lambda z=1-2 lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a distância entre duas retas no espaço, chamadas r1 e r2. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre retas no espaço e como calcular a distância entre elas quando não são paralelas nem coincidentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as equações paramétricas das retas r1 e r2. A reta r1 está definida por:
x = 2 - lambda y = 3 + lambda z = 1 - 2lambda
Vamos supor que a reta r2 também está definida por parâmetros semelhantes. Por exemplo:
x = 1 + mu y = 4 z = 2 + mu
Aqui, lambda e mu são os parâmetros das retas.

Passo 3

Agora, para achar a distância entre duas retas no espaço, usamos a fórmula que envolve os vetores diretores das retas e um vetor que une pontos das duas retas. A fórmula é:
d = |d1 times d2 cdot P2P1||d1 times d2|
Onde:
  • d1 e d2 são os vetores diretores das retas r1 e r2, respectivamente.
  • P2P1 é o vetor que une um ponto na reta r1 a um ponto na reta r2.
  • times representa o produto vetorial e cdot o produto escalar.

Passo 4

Vamos identificar os vetores diretores e os pontos nas retas:
  • Para r1, o vetor diretor é d1 = (-1, 1, -2) (coeficientes de lambda).
  • Para r2, o vetor diretor é d2 = (1, 0, 1) (coeficientes de mu).
  • Vamos escolher P1 = (2, 3, 1) na reta r1 (quando lambda = 0).
  • E P2 = (1, 4, 2) na reta r2 (quando mu = 0).

Passo 5

Agora, calculamos o vetor P2P1:
P2P1 = P1 - P2 = (2 - 1, 3 - 4, 1 - 2) = (1, -1, -1)

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial d1 times d2:
d1 times d2 = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - (-2) cdot 0) - j(-1 cdot 1 - (-2) cdot 1) + k(-1 cdot 0 - 1 cdot 1)
= i(1) - j(-1 + 2) + k(0 - 1) = (1, -1, -1)

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar (d1 times d2) cdot P2P1:
(1, -1, -1) cdot (1, -1, -1) = 1 cdot 1 + (-1) cdot (-1) + (-1) cdot (-1) = 1 + 1 + 1 = 3
O módulo do produto vetorial é:
|d1 times d2| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = |3|raiz3 = 3raiz3 = raiz3

Resposta

A distância entre as retas r1 e r2 é raiz3 unidades.

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