Determine se os seguintes conjuntos são subesespaços vetoriais (sobre R ).
O conjunto dos vetores de R^n que têm k coordenadas iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se um certo conjunto é um subespaço vetorial sobre R. Especificamente, o conjunto é formado pelos vetores de R^n que têm exatamente k coordenadas iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que um conjunto seja considerado assim.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor onde todas as coordenadas são zero deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer dentro do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em R^n é aquele onde todas as coordenadas são zero, ou seja, (0, 0, dots, 0). Nesse vetor, todas as coordenadas são iguais. Portanto, se o número de coordenadas iguais k for igual a n, o vetor zero pertence ao conjunto. Mas o enunciado diz que são exatamente k coordenadas iguais, não necessariamente todas. Se k < n, o vetor zero não pertence ao conjunto. Para ser um subespaço, é necessário que o vetor zero esteja sempre presente, independentemente de k.

Passo 4

2. Verificando a clausura sob adição:
Vamos supor que temos dois vetores no conjunto, digamos u e v, cada um com exatamente k coordenadas iguais. Se somarmos esses vetores, o número de coordenadas iguais no vetor resultante pode não ser exatamente k. Por exemplo, algumas coordenadas que eram iguais em u e v podem se tornar diferentes quando somamos os vetores, ou vice-versa. Então, o conjunto não necessariamente é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando a clausura sob multiplicação por escalar:
Se multiplicarmos um vetor do conjunto por um escalar, digamos c, a relação de ter exatamente k coordenadas iguais ainda se mantém? Na realidade, sim, desde que c neq 0, todas as coordenadas iguais continuarão iguais após a multiplicação. Contudo, se c = 0, o vetor resultante será o vetor zero, e como vimos no Passo 3, ele só pertence ao conjunto se k = n.

Resposta

Então, analisando as três condições, vimos que o conjunto dos vetores de R^n que têm exatamente k coordenadas iguais não é um subespaço vetorial, a menos que k = n. Mesmo quando k = n, precisamos garantir que todas as condições sejam atendidas, o que geralmente não ocorre para valores de k distintos de n.

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