Determine se os seguintes conjuntos são subesespaços vetoriais (sobre ).
O conjunto dos vetores de que têm coordenadas iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se um certo conjunto é um subespaço vetorial sobre . Especificamente, o conjunto é formado pelos vetores de que têm exatamente coordenadas iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que um conjunto seja considerado assim.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz três condições principais:
Contém o vetor zero: O vetor onde todas as coordenadas são zero deve estar no conjunto.
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer dentro do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é aquele onde todas as coordenadas são zero, ou seja, . Nesse vetor, todas as coordenadas são iguais. Portanto, se o número de coordenadas iguais for igual a , o vetor zero pertence ao conjunto. Mas o enunciado diz que são exatamente coordenadas iguais, não necessariamente todas. Se , o vetor zero não pertence ao conjunto. Para ser um subespaço, é necessário que o vetor zero esteja sempre presente, independentemente de .
Passo 4
2. Verificando a clausura sob adição:
Vamos supor que temos dois vetores no conjunto, digamos e , cada um com exatamente coordenadas iguais. Se somarmos esses vetores, o número de coordenadas iguais no vetor resultante pode não ser exatamente . Por exemplo, algumas coordenadas que eram iguais em e podem se tornar diferentes quando somamos os vetores, ou vice-versa. Então, o conjunto não necessariamente é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando a clausura sob multiplicação por escalar:
Se multiplicarmos um vetor do conjunto por um escalar, digamos , a relação de ter exatamente coordenadas iguais ainda se mantém? Na realidade, sim, desde que , todas as coordenadas iguais continuarão iguais após a multiplicação. Contudo, se , o vetor resultante será o vetor zero, e como vimos no Passo 3, ele só pertence ao conjunto se .
Resposta
Então, analisando as três condições, vimos que o conjunto dos vetores de que têm exatamente coordenadas iguais não é um subespaço vetorial, a menos que . Mesmo quando , precisamos garantir que todas as condições sejam atendidas, o que geralmente não ocorre para valores de distintos de .