Achar a equação da curva que passa pelo ponto
, sabendo-se que o declive de sua tangente em um ponto qualquer é igual ao triplo do quadrado da ordenada no mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisa encontrar a equação de uma curva que passa pelo ponto
. O lance é que a inclinação da tangente em qualquer ponto dessa curva é igual ao triplo do quadrado da ordenada nesse ponto. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que foi dito para termos matemáticos. A inclinação da tangente em um ponto é representada pela derivada da função
em relação a
, ou seja,
. Segundo o enunciado, essa inclinação é igual a três vezes o quadrado da ordenada (
). Então, podemos escrever a equação diferencial:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Isso é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
. Vamos reorganizar:
Integrando os dois lados:
A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Vamos resolver para
isolando-o:
Podemos reescrever
como outra constante
:
Para simplificar, podemos chamar
de
(vamos determinar isso usando o ponto dado).
Passo 5
Usando o ponto
para encontrar a constante
:
Resposta
A equação da curva é:
Exercícios relacionados
R.
Calcule a integral
, onde
.
A função
definida por
é denominado função de Bessel de ordem 1. Determine o domínio desta função e encontre a sua derivada.
A função
definida por
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir Geroge Airy (18011892). Encontre o domínio da função de Airy.