Achar a equação da curva que passa pelo ponto (1, -1), sabendo-se que o declive de sua tangente em um ponto qualquer é igual ao triplo do quadrado da ordenada no mesmo ponto.
y = 1/(2 - 3x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisa encontrar a equação de uma curva que passa pelo ponto . O lance é que a inclinação da tangente em qualquer ponto dessa curva é igual ao triplo do quadrado da ordenada nesse ponto. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que foi dito para termos matemáticos. A inclinação da tangente em um ponto é representada pela derivada da função em relação a , ou seja, . Segundo o enunciado, essa inclinação é igual a três vezes o quadrado da ordenada ( ). Então, podemos escrever a equação diferencial:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Isso é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e . Vamos reorganizar:
Integrando os dois lados:
A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Vamos resolver para isolando-o:
Podemos reescrever como outra constante :
Para simplificar, podemos chamar de (vamos determinar isso usando o ponto dado).

Passo 5

Usando o ponto para encontrar a constante :

Resposta

A equação da curva é:

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