A função $J_{1}$ definida por $$ J_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{n!(n+1)!2^{2 n+1}} $$ é denominado função de Bessel de ordem 1. Determine o domínio desta função e encontre a sua derivada.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre a função de Bessel de ordem 1, que é definida pela série:
O que precisamos descobrir aqui são duas coisas:
- Domínio da função
. - Derivada da função
.
Vamos usar conceitos de séries infinitas e cálculo diferencial para resolver isso. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de séries infinitas, precisamos verificar para quais valores de
a série converge, ou seja, para quais
a soma infinita dá um resultado finito.
A série que define
é uma série de potências. Para determinar o intervalo de convergência dessa série, podemos usar o teste da razão.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da razão para determinar o raio de convergência.
Considere os termos gerais da série:
Aplicando o teste da razão:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Calculando
y = sen(x^2) :
Simplificando os termos:
Agora, tomamos o valor absoluto e o limite quando
y = sen(x^2) :
Passo 5
No teste da razão, se
y = sen(x^2) , a série converge absolutamente. Aqui,
y = sen(x^2) , que é sempre menor que 1, independente do valor de
.
Isso significa que a série converge para todo valor real de
.
Portanto, o domínio da função
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada da função
y = sen(x^2) .
A derivada de uma série de potências pode ser encontrada derivando termo a termo, desde que a série converja uniformemente no intervalo considerado, o que é o caso aqui.
Então, vamos derivar cada termo da série:
Derivando termo a termo:
Passo 7
Calculando a derivada de cada termo:
Portanto, a derivada da função
y = sen(x^2) é:
Resposta
O domínio da função
y = sen(x^2) é todos os números reais, ou seja,
y = sen(x^2) . A derivada da função
é dada por:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -1.738ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.047ex” height=“4.774ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1342 6650.6 2110”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D445” d=“M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 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<div>é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir Geroge Airy (18011892). Encontre o domínio da função de Airy.</div>
</body></html>
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<div>é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir Geroge Airy (18011892). Encontre o domínio da função de Airy.</div>
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<html><head></head><body><div>Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular <span class="math-inline ">
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