é denominado função de Bessel de ordem 1. Determine o domínio desta função e encontre a sua derivada.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre a função de Bessel de ordem 1, que é definida pela série:
O que precisamos descobrir aqui são duas coisas:
Domínio da função .
Derivada da função .
Vamos usar conceitos de séries infinitas e cálculo diferencial para resolver isso. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de séries infinitas, precisamos verificar para quais valores de a série converge, ou seja, para quais a soma infinita dá um resultado finito.
A série que define é uma série de potências. Para determinar o intervalo de convergência dessa série, podemos usar o teste da razão.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da razão para determinar o raio de convergência.
Considere os termos gerais da série:
Aplicando o teste da razão:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Calculando an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(n+1)!(n+2)!2^2(n+1)+1 times n!(n+1)!2^2n+1(-1)^n x^2n+1 :
= -x^2n+3(n+1)(n+2)2^2n+3 times 2^2n+1x^2n+1
Simplificando os termos:
= -x^2(n+1)(n+2)2^2
= -x^24(n+1)(n+2)
L = limn to infty | -x^24(n+1)(n+2) | = limn to infty x^24(n+1)(n+2) = 0
Agora, tomamos o valor absoluto e o limite quando :
Passo 5
No teste da razão, se Domínio de J1(x): x in R , a série converge absolutamente. Aqui, , que é sempre menor que 1, independente do valor de .
Isso significa que a série converge para todo valor real de .
Portanto, o domínio da função é:
í
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada da função J1(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1n!(n+1)!2^2 n+1 .
A derivada de uma série de potências pode ser encontrada derivando termo a termo, desde que a série converja uniformemente no intervalo considerado, o que é o caso aqui.