é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir Geroge Airy (18011892). Encontre o domínio da função de Airy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta a função de Airy definida por uma série infinita:
Nosso objetivo é encontrar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de essa série converge e, portanto, a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral dos termos da série. Observando os expoentes de e os denominadores, percebemos que os termos são potências de multiplicadas por uma sequência de números no denominador. Podemos reescrever a série de forma mais geral como:
Aqui, começa em 0 e vai aumentando indefinidamente. Para simplificar, vamos tentar expressar o denominador de forma mais clara.
Passo 3
Observando os denominadores, notamos que eles são produtos de números que aumentam de 3 em 3:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.
Podemos notar que cada novo termo adiciona dois fatores ao denominador, aumentando cada vez mais. Isso sugere que o denominador cresce rapidamente à medida que aumenta.
Passo 4
Para determinar o domínio da função , precisamos descobrir para quais valores de a série converge. Uma maneira eficiente de testar a convergência de séries de potências é utilizando o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).
O Teste da Razão diz que, para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Então,
Agora, calculamos :
Note que à medida que aumenta, os fatores no denominador aumentam, o que faz com que a razão se torne muito pequena.
Passo 6
Calculamos o limite :
Porque o denominador cresce sem limites enquanto o numerador é uma constante em relação a .
Como , pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor real de .
Resposta
O domínio da função de Airy é todo o conjunto dos números reais. Ou seja, para qualquer valor real de , a série que define converge.