A função
definida por
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir Geroge Airy (18011892). Encontre o domínio da função de Airy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta a função de Airy definida por uma série infinita:
Nosso objetivo é encontrar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de
essa série converge e, portanto, a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral dos termos da série. Observando os expoentes de
e os denominadores, percebemos que os termos são potências de
multiplicadas por uma sequência de números no denominador. Podemos reescrever a série de forma mais geral como:
Aqui,
começa em 0 e vai aumentando indefinidamente. Para simplificar, vamos tentar expressar o denominador de forma mais clara.
Passo 3
Observando os denominadores, notamos que eles são produtos de números que aumentam de 3 em 3:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Podemos notar que cada novo termo adiciona dois fatores ao denominador, aumentando cada vez mais. Isso sugere que o denominador cresce rapidamente à medida que
aumenta.
Passo 4
Para determinar o domínio da função
, precisamos descobrir para quais valores de
a série converge. Uma maneira eficiente de testar a convergência de séries de potências é utilizando o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).
O Teste da Razão diz que, para a série
, calculamos o limite:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identifiquemos
y = sen(x^2) :
Então,
y = sen(x^2)
Agora, calculamos
y = sen(x^2) :
Note que à medida que
aumenta, os fatores no denominador aumentam, o que faz com que a razão se torne muito pequena.
Passo 6
Calculamos o limite
y = sen(x^2) :
Porque o denominador cresce sem limites enquanto o numerador é uma constante em relação a
.
Como
, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor real de
.
Resposta
O domínio da função de Airy
é todo o conjunto dos números reais. Ou seja, para qualquer valor real de
, a série que define
converge.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.339ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“2.243ex” height=“1.885ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 991.6 833”><title>J1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D43D” d=“M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(588,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> definida por</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.819ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“27.708ex” height=“6.354ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1562.5 12246.7 2808.5”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D43D” d=“M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(588,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 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data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(533,289) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“1D45B” d=“M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 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<div>é denominado função de Bessel de ordem 1. Determine o domínio desta função e encontre a sua derivada.</div>
</body></html>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.339ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“2.243ex” height=“1.885ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 991.6 833”><title>J1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D43D” d=“M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(588,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> definida por</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.819ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“27.708ex” height=“6.354ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1562.5 12246.7 2808.5”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D43D” d=“M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(588,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 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data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(533,289) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“1D45B” d=“M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 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<div>é denominado função de Bessel de ordem 1. Determine o domínio desta função e encontre a sua derivada.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Achar a equação da curva que passa pelo ponto <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“6.789ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 3000.7 1000”><title>(1, -1)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(389,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(889,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1333.7,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2111.7,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2611.7,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, sabendo-se que o declive de sua tangente em um ponto qualquer é igual ao triplo do quadrado da ordenada no mesmo ponto.</div>
<div><span class="math-block ">
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -1.738ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.047ex” height=“4.774ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1342 6650.6 2110”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D445” d=“M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 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<html><head></head><body><div>Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular <span class="math-inline ">
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