(x^2 - y^2) dx - 2xy dy = 0
R. x^3 - 3 x y^2 = c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Agora, calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de . Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos ignorar e considerar apenas a constante de integração.

Passo 4

Agora, temos a função potencial:
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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