R.
R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Agora, calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos ignorar
e considerar apenas a constante de integração.
Passo 4
Agora, temos a função potencial:
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, onde
.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
(l)
(l)
Achar a equação da curva que passa pelo ponto
, sabendo-se que o declive de sua tangente em um ponto qualquer é igual ao triplo do quadrado da ordenada no mesmo ponto.
A função
definida por
é denominado função de Bessel de ordem 1. Determine o domínio desta função e encontre a sua derivada.