Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do R^3 dado por T(1,0,0)=(0,0,0), T(0,1,0)=(0,0,0) e T(0,0,1)=(5,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear sobre encontrar os valores próprios e os vetores próprios de um operador linear T(1,0,0) = (0,0,0), T(0,1,0) = (0,0,0), T(0,0,1) = (5,-1,2) no espaço . O operador é definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e valores próprios. Vamos seguir passo a passo para achar esses valores e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T(e1) = (0,0,0), T(e2) = (0,0,0), T(e3) = (5,-1,2) como uma matriz. Sabemos que a ação de A = 0 & 0 & 5 0 & 0 & -1 0 & 0 & 2 nos vetores da base canônica dá:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores próprios ( det(A - lambda I) = 0 ) de A - lambda I = -lambda & 0 & 5 0 & -lambda & -1 0 & 0 & 2 - lambda . Para isso, resolvemos o polinômio característico, que é dado por:
Onde é a matriz identidade de ordem 3. Vamos montar :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda) cdot (-lambda) cdot (2 - lambda) = lambda^2(2 - lambda)
Então, o polinômio característico é:
lambda^2(2 - lambda) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação lambda1 = 0, lambda2 = 2 , encontramos os valores próprios:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.

Para 0 & 0 & 5 0 & 0 & -1 0 & 0 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :

Resolvemos 5v3 = 0 - v3 = 0 2v3 = 0 :

[
-2 & 0 & 5 0 & -2 & -1 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
-2v1 + 5v3 = 0 -2v2 - v3 = 0 0 = 0

v1 = 52v3 v2 = -12v3
]
Isso resulta no sistema:
Daí, . As variáveis e são livres. Portanto, os vetores próprios para são da forma , ou seja, qualquer vetor no plano .

Para :

Resolvemos :

[


]
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos:
Assumindo para simplificar, obtemos e . Então, um vetor próprio é .

Resposta

Os valores próprios de são e .
  • Para , os vetores próprios são todos os vetores da forma , onde .
  • Para , um vetor próprio é .

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