Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do dado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear sobre encontrar os valores próprios e os vetores próprios de um operador linear no espaço . O operador é definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e valores próprios. Vamos seguir passo a passo para achar esses valores e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Sabemos que a ação de nos vetores da base canônica dá:
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios ( det(A - lambda I) = 0 ) de A - lambda I = -lambda & 0 & 5 0 & -lambda & -1 0 & 0 & 2 - lambda . Para isso, resolvemos o polinômio característico, que é dado por:
Onde é a matriz identidade de ordem 3. Vamos montar :