Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do dado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear sobre encontrar os valores próprios e os vetores próprios de um operador linear no espaço . O operador é definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e valores próprios. Vamos seguir passo a passo para achar esses valores e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Sabemos que a ação de nos vetores da base canônica dá:
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios () de . Para isso, resolvemos o polinômio característico, que é dado por:
Onde é a matriz identidade de ordem 3. Vamos montar :
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Então, o polinômio característico é:
Passo 5
Resolvendo a equação , encontramos os valores próprios:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta no sistema:
Daí, . As variáveis e são livres. Portanto, os vetores próprios para são da forma , ou seja, qualquer vetor no plano .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos:
Assumindo para simplificar, obtemos e . Então, um vetor próprio é .
Resposta
Os valores próprios de são e .
Para , os vetores próprios são todos os vetores da forma , onde .