Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos seguintes subespaços do :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base ortonormal para o subespaço . Isso significa que precisamos de dois vetores que sejam mutuamente perpendiculares e que tenham comprimento 1, tudo dentro desse plano definido pela equação . Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, base, ortogonalidade e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base qualquer para o subespaço . A equação nos permite expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos resolver para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como . Podemos decompor isso em combinação linear de dois vetores:
Portanto, uma base para é .

Passo 3

Agora, precisamos ortonormalizar essa base. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal, e depois normalizamos os vetores.
Primeiro, vamos manter como está. Em seguida, ajustamos para que seja perpendicular a .
Calculamos o produto interno (ou escalar) entre e :
Como não é zero, precisamos subtrair a projeção de em :
Primeiro, calculamos :
Então,

Passo 4

Agora temos dois vetores ortogonais: e . O próximo passo é normalizar esses vetores, ou seja, fazer com que tenham comprimento 1.
Calculamos a norma de :
Então, o vetor normalizado é:
Fazemos o mesmo para :
Então, o vetor normalizado é:

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço é:

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