Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos seguintes subespaços do R^3: S=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base ortonormal para o subespaço S = (x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0. Isso significa que precisamos de dois vetores que sejam mutuamente perpendiculares e que tenham comprimento 1, tudo dentro desse plano definido pela equação x + y + z = 0. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, base, ortogonalidade e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base qualquer para o subespaço S. A equação x + y + z = 0 nos permite expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos resolver para z:
z = -x - y
Então, qualquer vetor em S pode ser escrito como (x, y, -x - y). Podemos decompor isso em combinação linear de dois vetores:
(x, y, -x - y) = x cdot (1, 0, -1) + y cdot (0, 1, -1)
Portanto, uma base para S é v1, v2 = (1, 0, -1), (0, 1, -1) .

Passo 3

Agora, precisamos ortonormalizar essa base. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal, e depois normalizamos os vetores.
Primeiro, vamos manter v1 = (1, 0, -1) como está. Em seguida, ajustamos v2 para que seja perpendicular a v1.
Calculamos o produto interno (ou escalar) entre v1 e v2:
v1 cdot v2 = 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + (-1) cdot (-1) = 0 + 0 + 1 = 1
Como não é zero, precisamos subtrair a projeção de v2 em v1:
u2 = v2 - v1 cdot v2v1 cdot v1 v1
Primeiro, calculamos v1 cdot v1:
v1 cdot v1 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2
Então,
u2 = (0, 1, -1) - 12 (1, 0, -1) = (0 - 12, 1 - 0, -1 - (-12)) = (-12, 1, -12)

Passo 4

Agora temos dois vetores ortogonais: v1 = (1, 0, -1) e u2 = (-12, 1, -12). O próximo passo é normalizar esses vetores, ou seja, fazer com que tenham comprimento 1.
Calculamos a norma de v1:
|v1| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
Então, o vetor normalizado é:
e1 = v1|v1| = ( 1raiz2, 0, -1raiz2 )
Fazemos o mesmo para u2:
|u2| = raiz(-12)^2 + 1^2 + (-12)^2 = raiz14 + 1 + 14 = raiz32 = raiz62
Então, o vetor normalizado é:
e2 = u2|u2| = ( -12raiz62, 1raiz62, -12raiz62 ) = ( -1raiz6, 2raiz6, -1raiz6 )

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço S é:
( 1raiz2,; 0,; -1raiz2 ),; ( -1raiz6,; 2raiz6,; -1raiz6 )

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