Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos seguintes subespaços do
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base ortonormal para o subespaço
. Isso significa que precisamos de dois vetores que sejam mutuamente perpendiculares e que tenham comprimento 1, tudo dentro desse plano definido pela equação
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, base, ortogonalidade e normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base qualquer para o subespaço
. A equação
nos permite expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos resolver para
:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como
. Podemos decompor isso em combinação linear de dois vetores:
Portanto, uma base para
é
.
Passo 3
Agora, precisamos ortonormalizar essa base. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal, e depois normalizamos os vetores.
Primeiro, vamos manter
como está. Em seguida, ajustamos
para que seja perpendicular a
.
Calculamos o produto interno (ou escalar) entre
e
:
Como não é zero, precisamos subtrair a projeção de
em
:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Passo 4
Agora temos dois vetores ortogonais:
e
. O próximo passo é normalizar esses vetores, ou seja, fazer com que tenham comprimento 1.
Calculamos a norma de
:
Então, o vetor normalizado é:
Fazemos o mesmo para
:
Então, o vetor normalizado é:
Resposta
Uma base ortonormal para o subespaço
é:
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