Seja
a matriz de um operador do
. Ache os valores próprios de
. Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz que representa um operador linear no espaço
. O objetivo aqui é encontrar os valores próprios desse operador e verificar se existem dois vetores próprios que são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender sobre valores próprios e vetores próprios de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio
de uma matriz
é um número que satisfaz a equação
, onde
é um vetor próprio associado a
. Para encontrar
, resolvemos a equação característica:
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa matriz:
Primeiro, montamos a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para obter a equação característica:
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
Então, temos um único valor próprio
com multiplicidade 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os vetores próprios associados a
. Resolvemos a equação
:
[
]
Isso nos dá o sistema:
A única equação não trivial é
. Portanto, os vetores próprios têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real diferente de zero.
Resposta
Os valores próprios de
são
com multiplicidade 2. Porém, existe apenas um vetor próprio (até escala) associado a
, ou seja, não há dois vetores próprios linearmente independentes neste caso.