Seja a matriz de um operador do . Ache os valores próprios de . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz que representa um operador linear no espaço . O objetivo aqui é encontrar os valores próprios desse operador e verificar se existem dois vetores próprios que são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender sobre valores próprios e vetores próprios de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio de uma matriz é um número que satisfaz a equação , onde é um vetor próprio associado a . Para encontrar , resolvemos a equação característica: , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa matriz:
Primeiro, montamos a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para obter a equação característica:

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
Então, temos um único valor próprio com multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios associados a . Resolvemos a equação :

[


]
Isso nos dá o sistema:
A única equação não trivial é . Portanto, os vetores próprios têm a forma , onde pode ser qualquer número real diferente de zero.

Resposta

Os valores próprios de são com multiplicidade 2. Porém, existe apenas um vetor próprio (até escala) associado a , ou seja, não há dois vetores próprios linearmente independentes neste caso.

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Seja um certo átomo que tem prótons no núcleo e (dois elétrons) que se encontram no orbital atômico 1 s . Dada a função de onda e o correspondente hamiltoniano para esse átomo, suponha que em certas unidades e após uma longa conta, o resultado para o valor esperado do hamiltoniano vem dado por:
a) A partir deste resultado dado acima, e usando o método variacional, determine o valor do número atômico efetivo . b) Usando o efeito de blindagem, explique e justifique claramente por que o valor obtido para no item a), é tal que , ou você esperaria que , e por que?
Sejam , e . Determine o vetor tal que: .