Seja (ll1 & 1 0 & 1) a matriz de um operador do R^2. Ache os valores próprios de T. Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz que representa um operador linear no espaço . O objetivo aqui é encontrar os valores próprios desse operador e verificar se existem dois vetores próprios que são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender sobre valores próprios e vetores próprios de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio de uma matriz é um número que satisfaz a equação , onde é um vetor próprio associado a . Para encontrar , resolvemos a equação característica: , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa matriz:
A = 1 & 1 0 & 1
Primeiro, montamos a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para obter a equação característica:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (0)(1) = (1 - lambda)^2

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(1 - lambda)^2 = 0 implies lambda = 1
Então, temos um único valor próprio com multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios associados a 0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0 . Resolvemos a equação 0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 :

[
v1 0


]
Isso nos dá o sistema:
A única equação não trivial é . Portanto, os vetores próprios têm a forma , onde pode ser qualquer número real diferente de zero.

Resposta

Os valores próprios de são com multiplicidade 2. Porém, existe apenas um vetor próprio (até escala) associado a , ou seja, não há dois vetores próprios linearmente independentes neste caso.

Exercícios relacionados