Ache o ângulo entre cada par de vetores
a) A=-2,00 i+6,00 j e B=2,00 i-3,00 j.
b) A=3,00 i+5,00 j e B=10,00 i+6,00 j.
c) A=-4,00 i+2,00 j e B=7,00 i+14,00 j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar o ângulo entre pares de vetores. Aqui, a matéria que vamos usar é a geometria dos vetores, especificamente a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. Para isso, vamos precisar das componentes dos vetores e das fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula do produto escalar é:
A cdot B = |A| , |B| cos(theta)
Onde:
  • theta = arccos( A cdot B|A| , |B| ) é o produto escalar dos vetores A e B.
  • e são os módulos (ou magnitudes) dos vetores A e B.
  • é o ângulo entre os vetores.
Para achar , rearranjamos a fórmula:

Passo 3

Vamos resolver a parte a): A cdot B = (-2,00)(2,00) + (6,00)(-3,00) = -4,00 -18,00 = -22,00 e .
Primeiro, calculamos o produto escalar:

Passo 4

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|A| = raiz(-2,00)^2 + (6,00)^2 = raiz4 + 36 = raiz40 approx 6,3246
|B| = raiz(2,00)^2 + (-3,00)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,6056

Passo 5

Substituindo na fórmula do ângulo:
theta = arccos( -22,006,3246 times 3,6056 ) = arccos( -22,0022,767 ) approx arccos(-0,966) approx 165°

Passo 6

Vamos resolver a parte b): A cdot B = (3,00)(10,00) + (5,00)(6,00) = 30,00 + 30,00 = 60,00 e .
Calculando o produto escalar:

Passo 7

Calculando os módulos:
|A| = raiz3,00^2 + 5,00^2 = raiz9 + 25 = raiz34 approx 5,8309
|B| = raiz10,00^2 + 6,00^2 = raiz100 + 36 = raiz136 approx 11,6619

Passo 8

Substituindo na fórmula do ângulo:
theta = arccos( 60,005,8309 times 11,6619 ) = arccos( 60,0067,919 ) approx arccos(0,883) approx 28°

Passo 9

Vamos resolver a parte c): A cdot B = (-4,00)(7,00) + (2,00)(14,00) = -28,00 + 28,00 = 0,00 e .
Calculando o produto escalar:

Passo 10

Calculando os módulos:
|A| = raiz(-4,00)^2 + 2,00^2 = raiz16 + 4 = raiz20 approx 4,4721
|B| = raiz7,00^2 + 14,00^2 = raiz49 + 196 = raiz245 approx 15,6525

Passo 11

Substituindo na fórmula do ângulo:
theta = arccos( 0,004,4721 times 15,6525 ) = arccos(0) = 90°

Resposta

a) O ângulo entre e é aproximadamente 165°.
b) O ângulo entre e é aproximadamente 28°.
c) O ângulo entre e é 90°.

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