Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(vii)
, o eixo
, a reta
e a reta
(vii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas seguintes curvas:
, o eixo
, e as retas verticais
e
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A curva
é uma função trigonométrica bem conhecida que oscila entre -1 e 1. O eixo
é simplesmente a linha horizontal onde
. As retas
e
são linhas verticais que vão delimitar o intervalo em que vamos calcular a área.
Passo 3
Para encontrar a área entre essas curvas, vamos precisar integrar a função
entre os limites de
e
. A fórmula básica para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
é o eixo
, que é
. Então, a fórmula fica:
Passo 4
Agora, precisamos observar onde a função
está acima ou abaixo do eixo
dentro do intervalo
. Sabemos que
cruza o eixo
em
. Então, vamos dividir a integral em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
De
a : Nesse intervalo,é negativa. Então, o valor absoluto de será . -
De
a : Aqui,é positiva, então o valor absoluto é apenas .
Passo 6
Agora, vamos resolver essas integrais:
-
Calculando
: Sabemos quee , então: -
Calculando
: Sabemos quee , então:
Passo 7
Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total
:
Podemos simplificar isso colocando tudo sobre 2:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas dadas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e
Encontre a expressão da derivada seguinte
Seja a função de Fresnel
definida como segue
- Esboce o grafico de
.
Calcule o valor de cada inegral seguinte: