Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(vii) y = sen(x), o eixo x, a reta x = -pi/4 e a reta x = pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas seguintes curvas: , o eixo , e as retas verticais e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A curva é uma função trigonométrica bem conhecida que oscila entre -1 e 1. O eixo é simplesmente a linha horizontal onde . As retas e são linhas verticais que vão delimitar o intervalo em que vamos calcular a área.

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, vamos precisar integrar a função entre os limites de e . A fórmula básica para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, é o eixo , que é . Então, a fórmula fica:

Passo 4

Agora, precisamos observar onde a função está acima ou abaixo do eixo dentro do intervalo . Sabemos que cruza o eixo em . Então, vamos dividir a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. De a :
    Nesse intervalo, é negativa. Então, o valor absoluto de será .
  2. De a :
    Aqui, é positiva, então o valor absoluto é apenas .

Passo 6

Agora, vamos resolver essas integrais:
  1. Calculando :
    Sabemos que e , então:
  2. Calculando :
    Sabemos que e , então:

Passo 7

Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total :
Podemos simplificar isso colocando tudo sobre 2:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas dadas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
k(w) = w^2 * raiz(w - 3) e [a, b] = [3, 7]
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd w integral2 w^sen(w) raiz2+t^4 d t
Seja a função de Fresnel S: R R definida como segue
S(x):=integral0^x sen(pi t^22) d t
  1. Esboce o grafico de S.
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
e=integral0^2 2 x^4+3 x^2 d x