Calcule o valor de cada inegral seguinte:
e=integral0^2 2 x^4+3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 a 2. Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre como integrar funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras básicas de integração para polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função significa encontrar a antiderivada dela. No caso, precisamos encontrar a antiderivada de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . A regra básica para integrar é:
onde é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integrando integral 2x^4 , dx = 2 cdot integral x^4 , dx = 2 cdot x^55 = 2x^55 :
integral 3x^2 , dx = 3 cdot integral x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3
  1. Integrando :

Passo 4

Agora, somamos as antiderivadas encontradas:
integral (2x^4 + 3x^2) , dx = 2x^55 + x^3 + C
Mas como estamos calculando uma integral definida, o é descartado.

Passo 5

Em seguida, aplicamos os limites de integração de 0 a 2 na antiderivada:
e = [ 2x^55 + x^3 ]0^2
Isso significa que vamos calcular a expressão acima primeiro substituindo por 2 e depois por 0, e então subtrair os resultados.

Passo 6

Calculando para 2(2)^55 + (2)^3 = 2 cdot 325 + 8 = 645 + 8 = 645 + 405 = 1045 :
2(0)^55 + (0)^3 = 0 + 0 = 0
Calculando para :

Passo 7

Agora, subtraímos os resultados:
e = 1045 - 0 = 1045

Resposta

O valor da integral é .

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