Seja a função de Fresnel S: R R definida como segue
S(x):=integral0^x sen(pi t^22) d t
  1. Esboce o grafico de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função de Fresnel , que é definida por uma integral envolvendo o seno. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre integrais e comportamento de funções. Vamos dar uma olhada em como essa função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição da função S(x) = integral0^x sin(pi t^22) dt :
Isso significa que é a área acumulada sob a curva da função desde até .

Passo 3

Vamos começar calculando o valor de S(0) = integral0^0 sin(pi t^22) dt = 0 :
Então, o gráfico passa pela origem.

Passo 4

Agora, vamos derivar S'(x) = ddx ( integral0^x sin(pi t^22) dt ) = sin(pi x^22) para entender a inclinação do gráfico:
Isso nos diz que a inclinação do gráfico em cada ponto é dada pelo valor de .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de :
  • O seno é uma função que oscila entre -1 e 1.
  • Conforme aumenta, o argumento faz com que a função seno oscile mais rapidamente.
Isso significa que vai ter oscilações cujo amplitude pode variar conforme cresce.

Passo 6

Vamos considerar o que acontece quando limx to infty S(x) = valor finito tende ao infinito:
Na verdade, as integrais de Fresnel têm limites que convergem para certos valores finitos, conhecidos como integrais de Fresnel.

Passo 7

Agora, sobre a simetria:
  • A função é ímpar, ou seja, .
    Isso significa que o gráfico será simétrico em relação à origem.

Passo 8

Com todas essas informações:
  • Passa pela origem.
  • Oscila com amplitude que tende a se estabilizar.
  • É negativa para negativos e positiva para positivos.
Isso nos dá uma boa ideia de como o gráfico se comporta.

Resposta

Então, o gráfico da função de Fresnel começa na origem, oscila suavemente para cima e para baixo à medida que aumenta, com as oscilações se tornando mais rápidas e a amplitude estabilizando em valores finitos. É simétrico em relação à origem, tendo comportamento semelhante tanto para valores positivos quanto negativos de . Basicamente, você verá ondas suaves que se aproximam de linhas horizontais conforme vai para mais ou menos infinito.

Exercícios relacionados

Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(vii) y = sen(x), o eixo x, a reta x = -pi/4 e a reta x = pi / 3
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
k(w) = w^2 * raiz(w - 3) e [a, b] = [3, 7]
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
e=integral0^2 2 x^4+3 x^2 d x
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
h=integral-2^-1 1a^2-2a^3 d a