Seja a função de Fresnel
definida como segue
- Esboce o grafico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função de Fresnel
, que é definida por uma integral envolvendo o seno. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre integrais e comportamento de funções. Vamos dar uma olhada em como essa função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da função
:
Isso significa que
é a área acumulada sob a curva da função
desde
até
.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor de
:
Então, o gráfico passa pela origem.
Passo 4
Agora, vamos derivar
para entender a inclinação do gráfico:
Isso nos diz que a inclinação do gráfico em cada ponto
é dada pelo valor de
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de
:
- O seno é uma função que oscila entre -1 e 1.
- Conforme
aumenta, o argumento faz com que a função seno oscile mais rapidamente.
Isso significa que
vai ter oscilações cujo amplitude pode variar conforme
cresce.
Passo 6
Vamos considerar o que acontece quando
tende ao infinito:
Na verdade, as integrais de Fresnel têm limites que convergem para certos valores finitos, conhecidos como integrais de Fresnel.
Passo 7
Agora, sobre a simetria:
- A função
é ímpar, ou seja, .
Isso significa que o gráfico será simétrico em relação à origem.
Passo 8
Com todas essas informações:
- Passa pela origem.
- Oscila com amplitude que tende a se estabilizar.
- É negativa para
negativos e positiva para positivos.
Isso nos dá uma boa ideia de como o gráfico se comporta.
Resposta
Então, o gráfico da função de Fresnel
começa na origem, oscila suavemente para cima e para baixo à medida que
aumenta, com as oscilações se tornando mais rápidas e a amplitude estabilizando em valores finitos. É simétrico em relação à origem, tendo comportamento semelhante tanto para valores positivos quanto negativos de
. Basicamente, você verá ondas suaves que se aproximam de linhas horizontais conforme
vai para mais ou menos infinito.
Exercícios relacionados
Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(vii) , o eixo
, a reta
e a reta
(vii)
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Calcule o valor de cada inegral seguinte: