Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: C=(ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os autovalores e autovetores da matriz 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e, depois, resolver para encontrar os autovalores. Depois de achar os autovalores, a gente encontra os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Isso porque os autovalores são os valores de que satisfazem .

Passo 3

Vamos montar a matriz C - lambda I = 0 - lambda & 1 & 0 0 & 0 - lambda & 1 -1 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 -1 & 0 & -lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(C - lambda I) = -lambda cdot ( (-lambda)(-lambda) - 1 cdot 0 ) - 1 cdot ( 0 cdot (-lambda) - 1 cdot (-1) ) + 0 cdot ( 0 cdot 0 - (-lambda) cdot (-1) )
Simplificando:
= -lambda (lambda^2 - 0) - 1 (0 + 1) + 0 = -lambda^3 - 1

Passo 5

O polinômio característico é então lambda^3 = -1 Rightarrow lambda = -1 , ou seja, . Resolvendo essa equação:
Além disso, como estamos trabalhando com números complexos, as outras soluções são .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos começar com 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 .
Substituindo -1 1 -1 na equação :
Resolvendo o sistema, encontramos que e . Podemos escolher , então um autovetor é .

Passo 7

Para os outros autovalores -12 - raiz32i & 1 & 0 0 & -12 - raiz32i & 1 -1 & 0 & -12 - raiz32i v1 v2 v3 = 0 0 0 , o processo é similar, mas os autovetores serão vetores complexos. Vamos mostrar para :
Substituindo na equação , obtemos:
Resolvendo esse sistema, encontramos os autovetores complexos correspondentes.

Resposta

Os autovalores da matriz lambda1 = -1 e lambda2,3 = 12 pm raiz32i são:
v1 = -1 1 -1 , v2 e v3 são vetores comp<=xos associados a lambda2 e lambda3
Os autovetores correspondentes são:
ã

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