Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os autovalores e autovetores da matriz . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e, depois, resolver para encontrar os autovalores. Depois de achar os autovalores, a gente encontra os autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Isso porque os autovalores são os valores de que satisfazem .
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
O polinômio característico é então , ou seja, . Resolvendo essa equação:
Além disso, como estamos trabalhando com números complexos, as outras soluções são .
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos começar com .
Substituindo na equação :
Resolvendo o sistema, encontramos que e . Podemos escolher , então um autovetor é .
Passo 7
Para os outros autovalores , o processo é similar, mas os autovetores serão vetores complexos. Vamos mostrar para :
Substituindo na equação , obtemos:
Resolvendo esse sistema, encontramos os autovetores complexos correspondentes.