Beleza, vamos resolver o exercício que diz: "Se é um escalar não nulo, então é invertível e ". Aqui, a gente vai trabalhar com matrizes e inversibilidade. Precisamos entender o que faz uma matriz ser invertível e como escalar uma matriz por um número afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se existir outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso significa que multiplicar pela sua inversa retorna a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz , onde é um escalar não nulo. Queremos mostrar que também é invertível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , dê a identidade.
Passo 4
Vamos propor que a inversa de seja . Vamos verificar se isso funciona:
Vemos que a multiplicação resulta na identidade, então nossa proposição está correta.
Passo 5
Portanto, se é um escalar não nulo e é invertível, então também é invertível, e sua inversa é .
Resposta
Se é um escalar não nulo e é invertível, então é invertível e .