1. se é um escalar não nulo, então é invertível e

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que diz: "Se é um escalar não nulo, então é invertível e ". Aqui, a gente vai trabalhar com matrizes e inversibilidade. Precisamos entender o que faz uma matriz ser invertível e como escalar uma matriz por um número afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se existir outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso significa que multiplicar pela sua inversa retorna a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz , onde é um escalar não nulo. Queremos mostrar que também é invertível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , dê a identidade.

Passo 4

Vamos propor que a inversa de seja . Vamos verificar se isso funciona:
Vemos que a multiplicação resulta na identidade, então nossa proposição está correta.

Passo 5

Portanto, se é um escalar não nulo e é invertível, então também é invertível, e sua inversa é .

Resposta

Se é um escalar não nulo e é invertível, então é invertível e .

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes invertíveis de mesmo tamanho. Prove que:
  1. é invertível e a inversa é dada por .
Diga quais das equações abaixo são lineares e quais não são.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: