1. se k é um escalar não nulo, então k A é invertível e
(k A)^-1=1k cdot A^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que diz: "Se é um escalar não nulo, então é invertível e ". Aqui, a gente vai trabalhar com matrizes e inversibilidade. Precisamos entender o que faz uma matriz ser invertível e como escalar uma matriz por um número afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se existir outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso significa que multiplicar pela sua inversa retorna a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz , onde é um escalar não nulo. Queremos mostrar que também é invertível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , dê a identidade.

Passo 4

Vamos propor que a inversa de (kA) cdot ( 1k A^-1 ) = k cdot 1k cdot A cdot A^-1 = 1 cdot I = I seja . Vamos verificar se isso funciona:
Vemos que a multiplicação resulta na identidade, então nossa proposição está correta.

Passo 5

Portanto, se é um escalar não nulo e é invertível, então também é invertível, e sua inversa é .

Resposta

Se é um escalar não nulo e é invertível, então é invertível e .

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