Sejam A e B matrizes invertíveis de mesmo tamanho. Prove que:
  1. A B é invertível e a inversa é dada por (A B)^-1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, A e B, que são invertíveis e têm o mesmo tamanho. Queremos provar que o produto dessas duas matrizes, A B, também é invertível e que a sua inversa é dada por (A B)^-1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes invertíveis e propriedades da inversa de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz M é invertível se existe outra matriz M^-1 tal que:
M cdot M^-1 = M^-1 cdot M = I
onde I é a matriz identidade, que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições.

Passo 3

Sabemos que A e B são invertíveis, então existem A^-1 e B^-1 que satisfazem:
A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I
B cdot B^-1 = B^-1 cdot B = I

Passo 4

Agora, queremos mostrar que A B também é invertível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por A B, resulte na matriz identidade I.

Passo 5

Vamos considerar a matriz B^-1 A^-1 e multiplicá-la por A B:
B^-1 A^-1 cdot A B

Passo 6

Vamos resolver a multiplicação passo a passo:
B^-1 A^-1 cdot A B = B^-1 (A^-1 cdot A) B = B^-1 I B = B^-1 B = I
Aqui, usamos a propriedade de que A^-1 cdot A = I e que B^-1 cdot B = I.

Passo 7

De maneira similar, multiplicando A B por B^-1 A^-1:
A B cdot B^-1 A^-1 = A (B cdot B^-1) A^-1 = A I A^-1 = A A^-1 = I

Passo 8

Como ambas as multiplicações resultaram na matriz identidade I, concluímos que B^-1 A^-1 é realmente a inversa de A B. Portanto, A B é invertível e sua inversa é (A B)^-1 = B^-1 A^-1.

Resposta

(A B)^-1 = B^-1 A^-1

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