Sejam
e
matrizes invertíveis de mesmo tamanho. Prove que:
-
é invertível e a inversa é dada por
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas,
e
, que são invertíveis e têm o mesmo tamanho. Queremos provar que o produto dessas duas matrizes,
, também é invertível e que a sua inversa é dada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes invertíveis e propriedades da inversa de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade, que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições.
Passo 3
Sabemos que
e
são invertíveis, então existem
e
que satisfazem:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que
também é invertível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por
, resulte na matriz identidade
.
Passo 5
Vamos considerar a matriz
e multiplicá-la por
:
Passo 6
Vamos resolver a multiplicação passo a passo:
Aqui, usamos a propriedade de que
e que
.
Passo 7
De maneira similar, multiplicando
por
:
Passo 8
Como ambas as multiplicações resultaram na matriz identidade
, concluímos que
é realmente a inversa de
. Portanto,
é invertível e sua inversa é
.
Resposta
Exercícios relacionados
Diga quais das equações abaixo são lineares e quais não são.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
?
(a) todos os vetores da forma
(b) todos os vetores da forma ( )
© todos os vetores da forma
(d) todos os vetores da forma
(a) todos os vetores da forma
(b) todos os vetores da forma (
© todos os vetores da forma
(d) todos os vetores da forma
- se
é um escalar não nulo, então é invertível e
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: