Sejam e matrizes invertíveis de mesmo tamanho. Prove que:
  1. é invertível e a inversa é dada por .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , que são invertíveis e têm o mesmo tamanho. Queremos provar que o produto dessas duas matrizes, , também é invertível e que a sua inversa é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes invertíveis e propriedades da inversa de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade, que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições.

Passo 3

Sabemos que e são invertíveis, então existem e que satisfazem:

Passo 4

Agora, queremos mostrar que também é invertível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , resulte na matriz identidade .

Passo 5

Vamos considerar a matriz e multiplicá-la por :

Passo 6

Vamos resolver a multiplicação passo a passo:
Aqui, usamos a propriedade de que e que .

Passo 7

De maneira similar, multiplicando por :

Passo 8

Como ambas as multiplicações resultaram na matriz identidade , concluímos que é realmente a inversa de . Portanto, é invertível e sua inversa é .

Resposta

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Diga quais das equações abaixo são lineares e quais não são.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de ?
(a) todos os vetores da forma
(b) todos os vetores da forma ( )
© todos os vetores da forma
(d) todos os vetores da forma
  1. se é um escalar não nulo, então é invertível e
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: