Sejam um espaço vetorial de dimensão finita, um operador linear e um autovalor de . Mostre que é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial de dimensão finita e um operador linear . Um autovalor de é um número tal que existe um vetor não nulo em onde . O conjunto é chamado de espaço próprio (ou espaço de autovetores) associado a , ou seja, .
O exercício quer que a gente mostre que é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição: se e estão no subespaço, então também está.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se está no subespaço e é um escalar, então também está.
Vamos verificar cada um desses pontos para .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se contém o vetor zero. Pelo próprio conjunto, vemos que está incluído, então essa condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores e em , precisamos mostrar que também está nesse conjunto.
Há duas possibilidades:
  1. Ambos e estão em .
  2. Pelo menos um deles é .
Caso 1: Se , então e . Aplicando na soma:
Isso mostra que .
Caso 2: Se, por exemplo, e , então:
Portanto, .
Assim, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se e é um escalar, queremos mostrar que também está nesse conjunto.
Novamente, há duas possibilidades:
  1. .
  2. .
Caso 1: Se , então . Aplicando no vetor multiplicado por :
Logo, .
Caso 2: Se , então , que já está no conjunto.
Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial, ou seja, contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Logo, é um subespaço vetorial de .

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