Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita,
um operador linear e
um autovalor de
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial
de dimensão finita e um operador linear
. Um autovalor
de
é um número tal que existe um vetor não nulo
em
onde
. O conjunto
é chamado de espaço próprio (ou espaço de autovetores) associado a
, ou seja,
.
O exercício quer que a gente mostre que
é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição: se
e estão no subespaço, então também está. - É fechado sob multiplicação por escalar: se
está no subespaço e é um escalar, então também está.
Vamos verificar cada um desses pontos para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. Pelo próprio conjunto, vemos que
está incluído, então essa condição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores
e
em
, precisamos mostrar que
também está nesse conjunto.
Há duas possibilidades:
- Ambos
e estão em . - Pelo menos um deles é
.
Caso 1: Se
, então
e
. Aplicando
na soma:
Isso mostra que
.
Caso 2: Se, por exemplo,
e
, então:
Portanto,
.
Assim, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
e
é um escalar, queremos mostrar que
também está nesse conjunto.
Novamente, há duas possibilidades:
-
. -
.
Caso 1: Se
, então
. Aplicando
no vetor multiplicado por
:
Logo,
.
Caso 2: Se
, então
, que já está no conjunto.
Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial, ou seja, contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Logo,
é um subespaço vetorial de
.