Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura de uma curva no ponto indicado. A curva está definida pelas equações paramétricas , , no ponto onde .
Matéria envolvida: Vamos usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de curvatura de uma curva no espaço. Para isso, precisamos conhecer as derivadas da posição da curva em relação ao parâmetro , além de saber como calcular o produto vetorial e a norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a posição vetorial da curva com base nas equações dadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que representa a velocidade vetorial:
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada de , que representa a aceleração vetorial:
Passo 5
Para encontrar a curvatura , usamos a fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial e a norma do vetor.