Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a curvatura e o raio de curvatura no ponto
para a função vetorial
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial de curvas, especificamente as fórmulas para curvatura e raio de curvatura de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
.
Derivando cada componente:
No ponto
:
Passo 3
Em seguida, encontramos a segunda derivada
, que nos dá o vetor aceleração.
Derivando
:
No ponto
:
Passo 4
Agora, usamos a fórmula da curvatura
para uma curva parametrizada:
No nosso caso, como estamos no plano, o produto vetorial dos vetores
e
é escalar:
Então, o módulo é 4.
Passo 5
Calculamos o módulo de
:
Elevando ao cubo:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula da curvatura:
Passo 7
O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Resposta
A curvatura no ponto dado é
e o raio de curvatura é
.
Exercícios relacionados
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.
Ache
e
.
Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
b)
b)