Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
b) R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a curvatura e o raio de curvatura no ponto para a função vetorial . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial de curvas, especificamente as fórmulas para curvatura e raio de curvatura de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade .
Derivando cada componente:
No ponto :

Passo 3

Em seguida, encontramos a segunda derivada , que nos dá o vetor aceleração.
Derivando :
No ponto :

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da curvatura para uma curva parametrizada:
No nosso caso, como estamos no plano, o produto vetorial dos vetores e é escalar:
Então, o módulo é 4.

Passo 5

Calculamos o módulo de :
Elevando ao cubo:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da curvatura:

Passo 7

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Resposta

A curvatura no ponto dado é e o raio de curvatura é .

Exercícios relacionados

Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
x = 2 + cos(t), y = 3 + sen(t)
Ache T(t) e N(t).
R(t) = t^2 * i + e^t * j
Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
b) x=e^t, y=e^(-t), z=t, t=0
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
b) R(t) = 2 sen(4t) i + 2 cos(4t) j