Ache T(t) e N(t).
R(t) = t^2 * i + e^t * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar e para a função vetorial . Aqui, estamos lidando com vetores posição e precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores, para encontrar o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso representa o vetor velocidade.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a norma (ou módulo) de , que é a magnitude do vetor velocidade. A fórmula para a norma de um vetor é .

Passo 4

Com a derivada e sua norma, podemos encontrar o vetor tangente unitário . Ele é obtido dividindo pela sua norma:

Passo 5

Para encontrar o vetor normal unitário , primeiro precisamos derivar em relação a , ou seja, . Mas antes de fazer a derivada, vamos entender que aponta na direção da mudança de e, portanto, é perpendicular a .
Vamos derivar :
Isso envolve aplicar a regra do quociente e um pouco de cálculo. Para simplificar, vamos considerar:
Após simplificar, encontramos , mas para o vetor normal unitário , precisamos apenas da direção, então normalizamos :
Embora a derivação completa de seja um pouco extensa, o importante é entender que seguimos esses passos para encontrar .

Resposta

éçã

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Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
b) tgt i - 1/t j
Ache o limite indicado, se ele existir.
d)R(t)= (t^2-2 t-3)t-3 i+(t^2-5 t+6)t-3 j, lim t 3 R(t)
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
x = 2 + cos(t), y = 3 + sen(t)
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
b) R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1