Ache
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar
e
para a função vetorial
. Aqui, estamos lidando com vetores posição e precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores, para encontrar o vetor tangente unitário
e o vetor normal unitário
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso representa o vetor velocidade.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a norma (ou módulo) de
, que é a magnitude do vetor velocidade. A fórmula para a norma de um vetor
é
.
Passo 4
Com a derivada e sua norma, podemos encontrar o vetor tangente unitário
. Ele é obtido dividindo
pela sua norma:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal unitário
, primeiro precisamos derivar
em relação a
, ou seja,
. Mas antes de fazer a derivada, vamos entender que
aponta na direção da mudança de
e, portanto, é perpendicular a
.
Vamos derivar
:
Isso envolve aplicar a regra do quociente e um pouco de cálculo. Para simplificar, vamos considerar:
Após simplificar, encontramos
, mas para o vetor normal unitário
, precisamos apenas da direção, então normalizamos
:
Embora a derivação completa de
seja um pouco extensa, o importante é entender que seguimos esses passos para encontrar
.
Resposta
Exercícios relacionados
Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Ache o limite indicado, se ele existir.
d)R(t)=
d)R(t)=
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
b)
b)