Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
R(t) = (t^3 - 3t) i + 3t^2 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição vetorial da partícula . Nosso objetivo é encontrar o vetor velocidade , o vetor aceleração , e os escalares aceleração tangencial e aceleração normal . Para isso, vamos usar cálculo vetorial, derivando a posição para achar a velocidade e a aceleração, e depois decompor a aceleração nas componentes tangencial e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Então, derivando cada componente:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
Assim,

Passo 4

Para encontrar a aceleração tangencial , precisamos calcular a derivada da velocidade em termos da direção do movimento. A fórmula é:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, a magnitude de :
Então,

Passo 5

Por último, vamos encontrar a aceleração normal . A fórmula é:
Primeiro, calculamos :
Agora,

Resposta

Os vetores e escalares solicitados são:

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Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
R(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + e^t k
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a) R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
x^2 - y^2 = 3 z^2
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
x^2 + y^2 = 2z