Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição vetorial da partícula
. Nosso objetivo é encontrar o vetor velocidade
, o vetor aceleração
, e os escalares aceleração tangencial
e aceleração normal
. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, derivando a posição para achar a velocidade e a aceleração, e depois decompor a aceleração nas componentes tangencial e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Então, derivando cada componente:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
Assim,
Passo 4
Para encontrar a aceleração tangencial
, precisamos calcular a derivada da velocidade em termos da direção do movimento. A fórmula é:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Agora, a magnitude de
:
Então,
Passo 5
Por último, vamos encontrar a aceleração normal
. A fórmula é:
Primeiro, calculamos
:
Agora,
Resposta
Os vetores e escalares solicitados são:
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Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a)
a)
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.